\(\Large\color{blue}{关于极限可达问题的讨论}\)

春风晚霞

elim 发表于 2024-1-15 02:49
命题 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n = a \implies \exists n\in\mathbb{N}^+ a_n = a\) 是错的。
...

elim先生：
       我认为你【命题：\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=a\implies\exists n∈\mathbb{N}^+a_n=a\)是错的。犯这种错误的本质，现在看起来，是对什么是皮亚诺意义下的正整数全体\(\mathbb{N}^+\)，什么是是数学归纳法原理，什么是等于，什么是趋于不清楚】的说法是一种学阀思想，你对我多次证明\(\displaystyle\lim_{n→∞}a_n=a\Longleftrightarrow 当（n→∞）时a_n=a\)充分必要性的帖子不屑于顾，现在又弄个【\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=a\implies\exists n∈\mathbb{N}^+a_n=a\)是错误的】说事，实在令人遐思无限！
       为回答先生的刁难，我根据你们坚持的\(\displaystyle\lim_{n→∞}a_n=a\Longleftrightarrow 当（n→∞）时a_n→a\)证明\(\displaystyle\lim_{n→∞}a_n=a\Longleftrightarrow 当（n→∞）时a_n=a\).
       【证明】因为\(\displaystyle\lim_{n→∞}a_n=a\)，所以\(｜a_n-a｜\)的绝对值应为无穷小量α，并且随i趋向于无穷的进展，α将取不同的值与之对应:现在我们把进程和趋向结果用自然数标号i和\(α_i\)(i∈N)表示，当
       i=1时，\(｜a_n-a｜=α_1\)≥0
       i=2时，\(｜a_n-a｜=α_2\)≥0
       i=3时，\(｜a_n-a｜=α_3\)≥0
…………
       i=k时，\(｜a_n-a｜=α_k\)≥0
…………
       i→(∞-m）时，\(｜a_n-a｜=α_{∞-m}≥0\)
       i→[∞-(m-1)]时，\(｜a_n-a｜=α_{∞-(m-1)}≥0\)
…………
       i→∞时\(｜a_n-a｜=α_∞≥0\)
       i→(∞+1)时，\(｜a_n-a｜=α_{∞+1}≥0\)
…………
       i→(∞+g)时，\(｜a_n-a｜=α_{∞+g}≥0\)
…………
     其中\(k，m，g∈\mathbb{N}^+\)
       因为\(a_n\)→a的过程是“无限逼近，充分靠拢”的过程，所以数列\(\{α_i\}\)单调递减且有下界。
       所以存在\(α_u=inf\{α_i\}=0\)，其中\(u∈\mathbb{N}^+\). 于是有当i≥u时，有
\(｜a_n-a｜=0\).所以存在无限多个n使得\(a_n=a\). 从而也就证明了\(\displaystyle\lim_{n→∞}a_n=a\Longleftrightarrow （n→∞）时，a_n=a\).
       至此春风晚霞自以为完全回答清楚了先生【\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=a\implies\exists n∈\mathbb{N}^+a_n=a\)是错的】的错误评价。也在极限在的意义下，其极限值趋近(充分逼近、无限靠拢)和等于的等价的。现在倒请elim先生给我们讲讲【什么是皮亚诺意义下的正整数全体\(\mathbb{N}^+\)】？什么是n→∞？
       elim先生，我用威尔斯特拉斯的ε—N证明\(\displaystyle\lim_{n→∞}a_n=a\Longleftrightarrow （n→∞）时，a_n=a\)的充分性和必要性帖子你不屑于顾，就给戴上一顶“党八股”的帽子，从而推动了长达半个多月对我的围攻封杀。现在我又根据你们坚持的\(\displaystyle\lim_{n→∞}a_n=a\Longleftrightarrow 当（n→∞）时a_n→a\)证明了\(\displaystyle\lim_{n→∞}a_n=a\Longleftrightarrow 当（n→∞）时a_n=a\)，你该不会再给我弄一顶“党九股”、“党十股”的帽子吧？

elim

命题 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n = a \implies \exists n\in\mathbb{N}^+ a_n = a\) 是错的。
要证明这个命题是错的，只要给出一个反例就够了：\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\small\frac{1}{n}}=0.\)
但是不存在正整数 \(n\) 使得 \({\small\dfrac{1}{n}}=0\). 因为后者导致 \(1=0\) 的矛盾.

春风晚霞

elim 发表于 2024-1-15 08:09
命题 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n = a \implies \exists n\in\mathbb{N}^+ a_n = a\) 是错的。
...

elim先生：
        你凭什么说【命题：\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=a\implies\exists n∈\mathbb{N}^+a_n=a\)是\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=a\implies\exists n∈\mathbb{N}^+a_n=a\)是错的】？？
       命题：\(\displaystyle\lim_{n→∞}a_n=a\Longleftrightarrow 当（n→∞）时a_n=a\)的充分性和必要性我就不再给出证明了。对你来说我再证明多少次都是白搭，因为你认定别人错了，一定就是别人错了。你不仅没读我过去的证明，连前天和今天我用你们坚持的\(\displaystyle\lim_{n→∞}a_n=a\Longleftrightarrow 当（n→∞）时a_n→a\)证明\(\displaystyle\lim_{n→∞}a_n=a\Longleftrightarrow 当（n→∞）时a_n=a\)的帖子你都不屑于看。我再从理论上去让明\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=a\implies\exists n∈\mathbb{N}^+a_n=a\)又有什么意思呢？
       至于你的【要证明这个命题是错的，只要给出一个反例就够了：\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tfrac{1}{n}=0\)，但是不存在正整n使\(\tfrac{1}{n}=0\)。因为后者导致 1=0的矛盾。】请你举出一个趋向于∞的n出来给大家看看！你举不出趋向于无穷的n使\(\tfrac{1}{n}>0\)，你的反例还是反例吗？
       elim先生，你能证明(n→∞)时，\(\tfrac{1}{n}=0\)是\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tfrac{1}{n}=0\)的必要条件吗？你能写出由【后者导致1=0的矛盾】逻辑推导过程吗？
       elim先生，我己不再在其它不涉及我的主题发声了，你想要我在我的主题下缄口可能吗？

elim

春风晚霞 发表于 2024-1-14 18:57
elim先生：
        你凭什么说【命题：\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=a\implies\exists n∈ ...

我凭反例说这是错的。如果春风先生有问题，你可以提出来，
其他婆婆妈妈的唠叨，恕我脑容量不够大。就当山歌听了。

金瑞生

春风晚霞 发表于 2024-1-15 09:57
elim先生：
        你凭什么说【命题：\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=a\implies\exists n∈ ...

请你们两位老师不要中了门外汉的奸计。

春风晚霞

elim 发表于 2024-1-15 10:40
我凭反例说这是错的。如果春风先生有问题，你可以提出来，
其他婆婆妈妈的唠叨，恕我脑容量不够大。就当 ...

因为你举不出趋向于无穷的n使\(\tfrac{1}{n}>0\)，所以你的反例就不是反例！因为你不能从逻辑上证明(n→∞)时，\(\tfrac{1}{n}>0\)，所以你的反例就不是反例！

elim

命题 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n = a \implies \exists n\in\mathbb{N}^+ a_n = a\)
是错的。也就是说一般不成立. 为此我给出了反例 \(\{a_n\}: a_n = 1/n\)
因为 \(\forall\varepsilon>0 \exists N_{\varepsilon}=\lceil\varepsilon^{-1}\rceil\in\mathbb{N}\;(n>N_{\varepsilon}\implies |1/n -0|< \varepsilon)\)
\(\therefore\;\;\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\small\frac{1}{n}}=0.\) 但没有正整数\(n\) 使 \({\small\dfrac{1}{n}}=0\). 后一式导致 \(1=0\)的矛盾.

春风晚霞

elim 发表于 2024-1-15 08:09
命题 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n = a \implies \exists n\in\mathbb{N}^+ a_n = a\) 是错的。
...

你127楼帖子的前3行只是证明了\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tfrac{1}{n}=0\)，你在何处证明了但没有正整数n使 \(\tfrac{1}{n}=0\). 后一式导致 1=0的矛盾？

elim

春风晚霞 发表于 2024-1-14 20:55
你127楼帖子的前3行只是证明了\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tfrac{1}{n}=0\)，你在何处证明了但没 ...

反正法．若 1/n=0, 两边乘以 n 得 1=0 的矛盾．

春风晚霞

elim 发表于 2024-1-15 12:52
反正法．若 1/n=0, 两边乘以 n 得 1=0 的矛盾．

很对不起，你的【反正法．若 1/n=0, 两边乘以 n 得 1=0 的矛盾】，是在舍去(n→∞)这个条件时得到的！故此不是(n→∞)时，\(\tfrac{1}{n}=0\)反例，而是诡辩！