\(\Large\color{blue}{关于极限可达问题的讨论}\)

春风晚霞

elim 发表于 2024-1-13 12:07
春风先生, \(0.\dot 9=\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{9}{10^k}=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\ ...

\(0.\dot 9=\)\(\displaystyle\sum_{k=1}^∞ \tfrac{9}{10^k}=\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\sum_{k=1}^n \tfrac{9}{10^k}=\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(1-10^{-n})\color{red}{=}1\)的那个红色的等号需要(n→∞)时\(\tfrac{9}{10^n}=0\)才成立. 否则就是曹俊云的【\(0.\dot 9\)本身不等于1，只有它的趋向性极限才等于1】！并且若(n→∞)时\(\tfrac{9}{10^n}≠0\)则\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}|1-10^{-n}-1|=\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^{-n}=0\)也不成立，即(n→∞)时\(\tfrac{9}{10^n}=0\)是\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^{-n}=0\)的必要条件。这些都是我用威尔斯特拉斯极限定义、柯西极限定义证明过多次的东西。倒底谁在胡扯，先生应该有数！所以没有(n→∞)时\(\tfrac{9}{10^n}=0\)这个必要条件，您证得的结果必然是\(0.\dot 9<1\)！

elim

春风晚霞 发表于 2024-1-12 23:24
\(0.\dot 9=\)\(\displaystyle\sum_{k=1}^∞ \tfrac{9}{10^k}=\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\d ...

不需要\(n\to\infty\)时 \(\frac{9}{10^n}=0\) 这种混淆趋于等于的方言粗口，需要标准分析的
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{10^n}=0\). 这可以轻易地用 \(\varepsilon-N\)语言证明。

春风晚霞

elim 发表于 2024-1-13 16:12
不需要\(n\to\infty\)时 \(\frac{9}{10^n}=0\) 这种混淆趋于等于的方言粗口，需要标准分析的
\(\display ...

如果没有(n→∞)时，\(\tfrac{1}{10^n}=0\)【这种混淆趋于等于的方言粗口(粗在何处？)】，亦【可以轻易地用标准分析的 ε—N语言证明】\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tfrac{1}{10^n}=0\)\(\color{red}{不成立！}\)

elim

春风晚霞 发表于 2024-1-13 01:59
如果没有(n→∞)时，\(\tfrac{1}{10^n}=0\)【这种混淆趋于等于的方言粗口(粗在何处？)】，亦【可以轻易 ...

先生的粗口就是把猴年马月叫作n趋于无穷时，或者把n=无穷时叫做n趋于无穷时．
先生认为满足极限定义不足以证明一个极限等式．非要喊一句天皇盖地虎？

春风晚霞

elim 发表于 2024-1-13 17:40
先生的粗口就是把猴年马月叫作n趋于无穷时，或者把n=无穷时叫做n趋于无穷时．
先生认为满足极限定义不足 ...

算了，道不同不足与谋。先让你几分，暂时失陪。如果你偏要坚持无端打压我，那我也只好舍命陪君子′，奉陪到底！

zhaolu48

除常数序列外，存在极限的序列，elim的“趋于极限”与“达到极限”，“是不同的概念”，这一句话已经把本质讲的很清楚了，再没有争论的必要了。

elim

zhaolu48 发表于 2024-1-13 06:47
除常数序列外，存在极限的序列，elim的“趋于极限”与“达到极限”，“是不同的概念”，这一句话已经把本质 ...

好了．还是尽早打住为妥．祝大家新年好！

春风晚霞

zhaolu48 发表于 2024-1-13 21:47
除常数序列外，存在极限的序列，elim的“趋于极限”与“达到极限”，“是不同的概念”，这一句话已经把本质 ...

Zhaolu48先生
       感谢先生到我的主题下关注极限存在必然可达的讨论。先生认为【除常数序列外，存在极限的序列，elim的“趋于极限”与“达到极限”，“是不同的概念”，这一句话已经把本质讲的很清楚了，再没有争论的必要了。】我不想与人争论，但我认为elim先生并没有把极限存在，就必然可达的本质讲清楚。因为我们根据\(\displaystyle\lim_{n→∞}\tfrac{1}{10^n}=0\Longleftrightarrow 当（n→∞）时\tfrac{1}{10^n}→0\)仍可证明\(\displaystyle\lim_{n→∞}\tfrac{1}{10^n}=0\Longleftrightarrow 当（n→∞）时\tfrac{1}{10^n}=0\).  
       我与elim先生的分歧的关键在于是否存在n∈N，使得\(\tfrac{1}{10^n}=0\)成立.下面我们根据\(\displaystyle\lim_{n→∞}\tfrac{1}{10^n}=0\Longleftrightarrow 当（n→∞）时\tfrac{1}{10^n}→0\)证明当(n→∞）时，存在无限多个n∈N，使得\(\tfrac{1}{10^n}=0\).  
       其证明如下：
       【证明】（数学归纳法)当
       n=1时，\(\tfrac{1}{10^1}=0.1=α_1\)≥0
       n=2时，\(\tfrac{1}{10^2}=0.01=α_2\)≥0
       n=3时，\(\tfrac{1}{10^3}=0.001=α_3\)≥0
…………
       n=k时，\(\tfrac{1}{10^k}=α_k≥0\)
…………
       n→(∞-m）时，\(\tfrac{1}{10^{∞-m}}=α_{∞-m}≥0\)
       n→[∞-(m-1)]时，\(\tfrac{1}{10^{∞-(m-1)}}\)\(=α_{∞-(m-1)}≥0\)
…………
       n→∞时\(\tfrac{1}{10^∞}=α_∞≥0\)
       n→(∞+1)时，\(\tfrac{1}{10^{∞+1}}=α_{∞+1}≥0\)
…………
       n→(∞+g)时，\(\tfrac{1}{10^{∞+g}}=α_{∞+g}≥0\)
…………
       因为数列\(\{α_i\}\)单调递减且有下界，
       所以存在\(α_u=inf\{α_i\}=0\)，其中\(i，u∈N\). 于是有\(\tfrac{1}{10^u}=0\).
       由皮亚诺公理知，当(n→∞)时，存在无限多个n使\(\tfrac{1}{10^n}=0\)成立。
     【注记】
       1、该证明素材出自某网友用不完全归纳法证明\(0.\dot 9<1\)帖子，由于该网友看到\(\displaystyle\lim_{n→∞}\)就恼火.所以诸如\(\tfrac{1}{10^∞}=α_∞≥0\)之类的式子权且看作一个逻辑记号。该网友只证到n=k时\(\tfrac{1}{10^k}>0\)便断言\(\tfrac{1}{10^∞}>0\).
       2、上述证明我们从\(\displaystyle\lim_{n→∞}\tfrac{1}{10^n}=0\Longleftrightarrow 当（n→∞）时\tfrac{1}{10^n}→0\)出发，仍可证得\(\displaystyle\lim_{n→∞}\tfrac{1}{10^n}=0\Longleftrightarrow 当（n→∞）时\tfrac{1}{10^n}=0\).
       3、上述证明也顺带证明了(\(\forall k∈\mathbb{N}^+，k\nrightarrow ∞\))时，\(\tfrac{1}{10^k}>0\)和(\(\forall k∈\mathbb{N}^+且k→∞\))时，\(\tfrac{1}{10^k}=0\)两个命题.

      只可惜这个证明那些学阀不屑于顾，只知瞎蒙乱喷.
      
      再次感谢赵先生的关注。早就想潜水休息了，可惜“树欲静而蒙风不止”啊！我能做到的只能是尽量不在不涉及我的主题下发言，但若要在自己的主题下缄口不语，也就太为难人了！

门外汉

春风晚霞 发表于 2024-1-13 21:50
Zhaolu48先生
       感谢先生到我的主题下关注极限存在必然可达的讨论。先生认为【除常数序列外，存 ...

老春头，你可得挺住了，临阵退缩那可不是你的性格，你老春头就算是活到109岁，拄个小拐棍也得往前冲

elim

春风晚霞 发表于 2024-1-13 14:50
Zhaolu48先生
       感谢先生到我的主题下关注极限存在必然可达的讨论。先生认为【除常数序列外，存 ...

命题 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n = a \implies \exists n\in\mathbb{N}^+ a_n = a\) 是错的。
犯这种错误的本质，现在看起来，是对什么是皮亚诺意义下的正整数全体 \(\mathbb{N}^+\),  什么是
是数学归纳法原理，什么是等于，什么是趋于不清楚。