计算扑克游戏获胜概率

Ysu2008

【洗牌阶段】
52 张纸牌（无大小王），随机均匀洗牌后分为 13 堆（每堆 4 张），每堆依次编号为 A,2,3, ...... ,J,Q,K；

【游戏过程】
游戏每次都是从第 K 堆开始抽取第 1 张牌；
从第 2 张开始，则按前一张抽出的牌面点数所对应的那一堆中取牌；

举例：比如从第 K 堆取出的第 1 张牌是 5 点（忽略花色），则第 2 张牌就从第 5 堆里抽取，余类推。

【胜负判定】
游戏过程中，当试图从空堆中抽取牌时，游戏终止并判负；
如果 52 张牌被全部取出（没有发生取空堆），游戏获胜。

——计算游戏获胜概率。

cgl_74

用计算机比较好做。当作一个NP问题搞简单点，不用费力去化简为P问题。
给定一个分组，比较容易判断是否能取胜。然后遍历所有可能组合（组合数量小于52！），即可算出。

lihp2020

而我 再想递推   
1 假如n*4 的失败   结果一定失败 是否  随便替换 这个4n的0~4个 成n-1 换了的放到 n+1堆也一定失败
如果1满足 应该就好递推了

Ysu2008

取空堆只能发生在第 K 堆。

游戏开始时，从第 K 堆取走一张牌（第 1 张），第 K 堆相当于只有 3 张牌，但共有 4 张 K 点；
除第 K 堆外，其余各堆都有 4 张牌，都不会出现不够取的情况；
所以，要顺利取出全部 52 张牌，第 4 张 K 点只能在最后一张（第 52 张）取得。

就是说，将顺利取出的 52 张牌，排为一行，最末一张必定为 K 点；

又因为，洗牌是随机的，前 51 张牌被抽取到任意一个位置的概率相等；
所以，前 51 张牌的排列总数为 \(51！\)， 4 张 K点都有可能排在最末一位，所以获胜牌型的排列总数为 \(4\times51!\)

假如我们在发生取空堆时，将游戏继续下去（随机选一堆，继续取牌），也将取出的52张牌，排为一行；
52 张牌的全排列总数为 \(52!\)，这里面包括了成功牌型的排列和失败牌型的排列；

所以，游戏获胜的概率为 \(\frac{4\times51!}{52!}=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}\) .

模拟验证
机器模拟玩这个游戏 1 千万次，获胜次数为 768886 次，获胜概率约 \(0.0768886\ \approx\frac{1}{13}\) .

cgl_74

是计算机模拟结果是0.076吧？
你那个理论分析是没有逻辑的，结果可能是对的，但答案是凑的，因为理论分析没有逻辑。
最后一张为K，也不能保证成功。全集也不是52！。难道是负负为正，推导出正确结果？

Ysu2008

cgl_74 发表于 2024-1-1 01:10
是计算机模拟结果是0.076吧？
你那个理论分析是没有逻辑的，结果可能是对的，但答案是凑的，因为理论分析 ...

洗牌时，最后一张是 K 确实不能保证成功（比如 4 张 2 全在第 2 堆）；
但成功取出 52 张牌的所有牌型，最后一张必为 K；
假如 4 张 2 全在第 2 堆，或者别的什么状况，必然发生 K 堆不够取。

Ysu2008

cgl_74 发表于 2024-1-1 01:10
是计算机模拟结果是0.076吧？
你那个理论分析是没有逻辑的，结果可能是对的，但答案是凑的，因为理论分析 ...

我也觉着我那分析部分捋得不够通透，大家一块儿想想，怎么捋通透。

Ysu2008

不考虑洗牌后的牌型，只考虑抽牌后的牌型。

如果发生取空堆，则随机另选一堆继续取牌，直到取出全部 52 张牌；
将 52 张牌排成一行，牌型总数有 52! 种，包括成功的牌型和失败的牌型；

根据我们前面4#的分析，成功的牌型必然以 K 结尾，反过来说：以 K 结尾的牌型必然是成功的牌型——同样成立。

因为，取空堆只可能发生在第 K 堆，如果最后一张取到的是 K ，则说明第 K 堆没有发生取空堆，其余各堆不会发生取空堆；那么，以 K 结尾的牌型必然是成功的牌型。

以 K 结尾的牌型总数 \(4\times51!\) 种，获胜概率为 \(\frac{4\times51!}{52!}=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}\) .

——似乎没啥BUG 。

cgl_74

我找到了这题的严谨证明：
一、发牌的总数：把不同点和不同花色的次序不同都认为是不同的发牌；那么发牌的总数为52！种；且每种几率均等。
二、下面的关键是，找出成功的发牌的次序种数。
1、任何一个成功的发牌序列，经过成功抽牌后，形成唯一的一个抽牌次序；而且此时最后一张抽牌必定为k
2、任何一个以k结束的抽牌次序（或者直接说任何一个以k结束的52张牌的排序序列），唯一对应一个发牌序列，且此发牌序列是成功的。通过构造证明，证明过程见下图片简单说明。
3、通过一一映射，那么发牌成功的种数，就等于以k结束的抽牌次序。而这个次序就是4*51！（不同花色认为不同）
那么概率就得出来了。

所以，4楼的那种解释是逻辑没讲清楚。什么发生空堆后，另外随机继续取牌的说法是不知所云啊。