“回”字添两条对角线，从对角线交点 O 出发，又回到 O，走了 9 条路段，有几种走法？

lihp2020

我随便吹牛皮 说的
画个矩阵
n个点 就n*n矩阵

能相互同的地方就填 1 不能通的就填 0 假设这个矩阵 S

结果 =[1,0,0,0,0,0] * S^n=[a,c,d,e..n]
结果 就是求当 不同的n对应a的值？？  
这个是可以解决 各种通路问题
当然如果S能对角化 就可以直接出通项公式  
当然 这个我也不想去画这个矩阵 也不想去对角化  能解决各种图形 不仅仅是回字的  

王守恩

目标很明确: 把"通吃"公式揪出来。
正m边形, 走了n条路, 有S(m,n)种走法。
S(3,n)= 1, 2, 8, 26, 93, 330, 1194, 4352, 15998, 59180, 220138, 822718, 3087325, 11626986,
S(4,n)= 1, 2, 9, 30, 114, 420, 1585, 5990, 22806, 87164, 334474, 1287468, 4969476, 19226952,
S(5,n)= 1, 2, 10, 34, 137, 522, 2054, 8040, 31722, 125356, 496956, 1973862, 7854905, 31305290,
S(6,n)= 1, 2, 11, 38, 162, 636, 2607, 10550, 43118, 176084, 721294, 2957308, 12142276, 49899192,
基本思路。
1环可以确定S(m,2),S(m,3);
2环可以确定S(m,4),S(m,5);
3环可以确定S(m,6),S(m,7);
4环可以确定S(m,8),S(m,9);
......
数据是我一个一个一个"逼"出来的。希望有网友找出毛病来。谢谢！
虽然有这些数据, 但"通吃"公式还是没有。希望得到网友的神助。谢谢！

王守恩

"通吃"公式不好揪。先放松放松。
正六边形每边3等分,  每对(计3对)平行边作5条(计15条)平行线(在正六边形内),
共得到37个点84条路段。从中心点O出发,又回到O(允许中途经过O),  
走了n(2,3,4,5,6,7,...)条路段,  有几种走法？

王守恩

正m边形, 走了n条路, 有S(m,n)种走法。

1. Table[RecurrenceTable[{(m-1)(3+n)b[3+n]==(12m-6+(6m-4)n)b[2+n]+m(3m-12
   
2. +(m-8)n)b[1+n]-m^2(6+4n)b[n],b[1]==0,b[2]==1,b[3]==2},b,{n,1,22}],{m,3,18}]

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S(03,n)=0, 1, 2, 8, 26, 93, 330, 1194, 4352, 15998, 59180, 220138, 822718, 3087325,
S(04,n)=0, 1, 2, 9, 30, 114, 420, 1585, 5990, 22806, 87164, 334474, 1287468, 4969476,
S(05,n)=0, 1, 2, 10, 34, 137, 522, 2054, 8040, 31722, 125356, 496956, 1973862, 7854905,
S(06,n)=0, 1, 2, 11, 38, 162, 636, 2607, 10550, 43118, 176084, 721294, 2957308, 12142276,
S(07,n)=0, 1, 2, 12, 42, 189, 762, 3250, 13568, 57390, 241916, 1023358, 4328814, 18334173,
S(08,n)=0, 1, 2, 13, 46, 218, 900, 3989, 17142, 74958, 325660, 1421298, 6196428, 27051860,
S(09,n)=0, 1, 2, 14, 50, 249, 1050, 4830, 21320, 96266, 430364, 1935664, 8686678, 39050761,
S(10,n)=0, 1, 2, 15, 54, 282, 1212, 5779, 26150, 121782, 559316, 2589526, 11946012, 55236660,
S(11,n)=0, 1, 2, 16, 58, 317, 1386, 6842, 31680, 151998, 716044, 3408594, 16142238, 76682621,  
S(12,n)=0, 1, 2, 17, 62, 354, 1572, 8025, 37958, 187430, 904316, 4421338, 21465964, 104646628,
S(13,n)=0, 1, 2, 18, 66, 393, 1770, 9334, 45032, 228618, 1128140, 5659108, 28132038, 140589945,
S(14,n)=0, 1, 2, 19, 70, 434, 1980, 10775, 52950, 276126,1391764, 7156254, 36380988,186196196,
S(15,n)=0, 1, 2, 20, 74, 477, 2202, 12354, 61760, 330542,1699676, 8950246, 46480462,243391165,  
S(16,n)=0, 1, 2, 21, 78, 522, 2436, 14077, 71510, 392478,2056604,11081794,58726668,314363316,  
S(17,n)=0, 1, 2, 22, 82, 569, 2682, 15950, 82248, 462570,2467516,13594968,73445814,401585033,  
S(18,n)=0, 1, 2, 23, 86, 618, 2940, 17979, 94022, 541478,2937620,16537318,90995548,507834580,

王守恩

34楼的题目是这样。
m边形, n条路, 有S(m,n)种走法。
环形路不限制,也就是取S(m,n)的最大值。
基本思路：
1环可以确定S(m,2),S(m,3);
2环可以确定S(m,4),S(m,5);
3环可以确定S(m,6),S(m,7);
4环可以确定S(m,8),S(m,9);
......
每环完成5个数: 2个数是任务, 3个数作铺垫。具体：
1环: 确定 S(m,1),  S(m,2),  S(m,3),  S(m,4),  S(m,5);
2环: 前面的数同1环, S(m,4)=1环的S(m,4)+1, S(m,5)=1环的S(m,5)+06, 由这5个数可以推出后面的数;
3环: 前面的数同2环, S(m,6)=2环的S(m,6)+1, S(m,7)=2环的S(m,7)+10, 由这7个数可以推出后面的数;
4环: 前面的数同3环, S(m,8)=3环的S(m,8)+1, S(m,9)=3环的S(m,9)+14, 由这9个数可以推出后面的数;
......
闹着玩的。祝大家新年快乐！生活是不可能压垮我们的。

王守恩

"1"是最重要的。这里给出 1 环的数据。34#给出的是无限环的数据。谢谢 Ysu2008！

\(S(m,n)=\frac{(1 +\sqrt{m})^n - (1 -\sqrt{m})^n}{2\sqrt{m}}=ChebyshevU[n,\frac{ -I}{\sqrt{m}}](\frac{\sqrt{m}}{-I})^n\)

S(3,n)=0, 1, 2, 07, 20,  61, 182,  547, 1640, 4921, 14762, 44287, 132860, 398581, 1195742,   
S(4,n)=0, 1, 2, 08, 24,  80, 256,   832, 2688,  8704, 28160,  91136, 294912, 954368, 3088384,
S(5,n)=0, 1, 2, 09, 28, 101, 342, 1189, 4088, 14121, 48682,167969, 579348, 1998541, 6893822,
S(6,n)=0, 1, 2, 10, 32, 124, 440, 1624, 5888, 21520, 78368, 285856, 1041920, 3798976, 13849472,
S(7,n)=0, 1, 2, 11, 36, 149, 550, 2143, 8136, 31273, 119498, 457907, 1752300, 6709949, 25685998,
S(8,n)=0, 1, 2, 12, 40, 176, 672, 2752, 10880, 43776, 174592, 699392, 2795520,11186176,44736512,
S(9,n)=0, 1, 2, 13, 44, 205, 806, 3457, 14168, 59449, 246410,1027861,4273412,17797573,74055854,