对话 2023 年阿贝尔奖得主卡法雷利：跳跃在偏微分方程的世界

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对话 2023 年阿贝尔奖得主卡法雷利：跳跃在偏微分方程的世界

2023 年阿贝尔奖授予美国得克萨斯大学奥斯汀分校教授路易斯·卡法雷利（Luis Angel Caffarelli，1948-），以表彰他“对非线性偏微分方程的正则性理论的开创性贡献，包括自由边界问题和蒙日—安培方程”。卡法雷利有着绝妙的几何洞察力，他将巧妙的分析工具和方法结合，解决了偏微分方程领域的诸多实际问题，这些方法广泛应用于物理、工程和材料等多个领域；而他的正则性定理是对蒙日—安培方程的重大突破。本文系两位挪威数学教授对卡法雷利的采访，卡法雷利介绍了他作为一名多产的数学家学术生涯的主要工作。（问题由两人共同提出，原文标记为 [BID/CFS] 。）

撰文 | Bjorn Ian Dundas（卑尔根大学数学系教授），Christian F. Skau（挪威科技大学数学科学系名誉教授）

翻译 | zzllrr小乐

来源 | zzllrr小乐


2023 年，阿贝尔奖得主卡法雷利在奥斯陆大学（University of Oslo）演讲。图片来源：Ola G. Saether / The Abel Prize

Q：卡法雷利教授，首先，我们要祝贺你因为“对非线性偏微分方程的正则性理论的开创性贡献，包括自由边界问题和蒙日—安培方程”而获得 2023 年阿贝尔奖。你将从挪威国王那里接受奖项。

我们会谈到你的数学工作，但首先了解一下你的背景可能是个好主意。你 1948 年出生于布宜诺斯艾利斯。你会如何描述你的童年？

卡法雷利：我们住在布宜诺斯艾利斯一个不错的中产阶级地区。当我还是个孩子的时候，我会经常和朋友一起踢足球。我们非常喜欢的另一个游戏是扔球或其他东西，看看谁能把球扔到最靠近墙或者最靠近某条线。

我住的地方可以说是工程区。我的父亲是一名机械工程师，在航运业工作，负责组装和修理在拉普拉塔（Rio de la Plata）河湾航行的船只。当我 16 岁时，我和他一起组装了一台船舶发动机。这是我青春期最温暖的回忆之一。

Q：所以，你的父亲鼓舞了你？

卡法雷利：是的，就是他。他带着很多关爱，推动我去做一些严肃的事情，比如工程或科学，或者类似的事情。我听从了他的建议。后来我被著名的中学——布宜诺斯艾利斯国立学院（Colegio Nacional de Buenos Aires）录取，该学院由布宜诺斯艾利斯大学管理。在那里，我的科学兴趣被有启发性的老师引导到物理和数学上。我 1966 年高中毕业，1967 年 3 月进入布宜诺斯艾利斯大学，主修物理和数学，并于 1970 年获得本科学位。

作为一名学生，我深受路易斯·桑塔洛（Luis Santaló，1911-2001）、曼努埃尔·巴兰扎特（Manuel Balanzat，1912-1994）和卡洛斯·塞戈维亚（Carlos Segovia，1937-2007）的影响和启发。桑塔洛和巴兰扎特都是西班牙数学家，由于西班牙内战而移居阿根廷。桑塔洛对积分几何（integral geometry）和几何概率（geometric probability）做出了重要贡献，而巴兰扎特则从事泛函分析（functional analysis）工作。他们与雷伊·帕斯托尔（Rey Pastor，1888-1962）和皮·卡耶卡（Pi Calleja，1907-1986）共同在布宜诺斯艾利斯大学打造了出色的本科和研究生数学课程，在分析、几何和代数几何方面形成了一个非常强大的群体。

调和分析学家塞戈维亚是布宜诺斯艾利斯大学的杰出毕业生，他于 1967 年在芝加哥大学获得博士学位，师从与阿尔贝托·卡尔德隆（Alberto Calderón，1920-1988）。虽然塞戈维亚在年龄上比桑塔洛和巴兰扎特更接近我，但塞戈维亚始终是（我的）一个强有力的支持者。

Q：然后你开始了研究生学习，并于 1972 年获得数学博士学位。你的博士生导师卡利斯托·卡尔德隆（Calixto Calderón，1939-），是你提到的更年长、非常著名的数学家阿尔贝托·卡尔德隆的继兄弟。向我们讲讲你的研究生工作。

卡法雷利：卡利斯托·卡尔德隆将我的想象力引向了特殊函数论（Special function theory），这是一个充满活力的主题，与通过由特殊多项式形式的级数表示组成的分析方法寻找偏微分方程（Partial differential equation，PDE）解的最佳表示有关。我论文的一个关键点涉及阿贝尔可加性（Abel summability）技术，考虑到我很荣幸获得阿贝尔奖，我觉得这很有趣！事实上，在我的论文工作之后，我与卡利斯托·卡尔德隆在 1974 年一起发表了一篇题为《关于多雅可比级数的阿贝尔可加性》（On Abel summability of multiple Jacobi series）的论文。

Q：我们是否可以在这里插一句话，至少在间接上与此有关？2007年，你和你以前的博士生路易斯·西尔维斯特（Luis Silvestre，1977-）一起发表了一篇极具影响力的论文《一个与分数拉普拉斯算子有关的推广问题》（An extension problem related to the fractional Laplacian）。从历史上看，阿贝尔（Niels Henrik Abel，1802-1829）是第一个引入分数求导和积分的人【他有效地用其解决广义等时线问题（generalized isochrone problem）——这个问题可以追溯到惠更斯（Christiaan Huygens，1629-1695）】。所以从广义上讲，你工作中的一些关键概念可以追溯到阿贝尔。

卡法雷利：嗯，这就是我们在这里的原因！


图片来源：Ola G. Saether / The Abel Prize

早期职业生涯和自由边界问题

Q：在布宜诺斯艾利斯大学获得博士学位后，你前往明尼苏达大学做博士后，于 1973 年 1 月到达那里。是什么让你选择去那里？

卡法雷利：布宜诺斯艾利斯大学和明尼苏达大学的数学系之间很早就建立了联系，所以我作为博士后学生去那里是很自然的。此外，我的博士生导师卡利斯托·卡尔德隆早在 1972 年就已经来到那里，并获得了一份永久职位。然而，他于 1974 年秋天离开了明尼苏达大学，在伊利诺伊大学芝加哥分校担任终身职位。

明尼苏达大学数学系的同事非常友好，非常慷慨，也非常敬业，他们教会了我很多我原本只是知道的东西。他们分享了他们的想法，并在我开始研究项目时给予我指导。

Q：在明尼苏达大学期间，是否有人对你的数学研究特别重要？

卡法雷利：是的，我一到这里就遇到了汉斯·路易（Hans Lewy，1904-1988）。他是一位研究非线性偏微分方程和极小曲面（minimal surface）的杰出分析学家。我参加了路易讲授的关于调和分析的系列讲座。他给了我两个问题，我在几个月内成功地解决了。他的支持改变了我的人生，对我的职业道路产生了强烈的影响。路易提出的问题之一是障碍问题（obstacle problem），这是所谓的自由边界问题（free boundary problem）的一个例子。

Q：1977 年，你在权威期刊 Acta Mathematica 上发表了一篇题为《高维自由边界的正则性》（The regularity of free boundaries in higher dimensions）的论文。你用这篇论文震惊了数学界，这项工作所展现的才华和新颖性成为你未来成名的基础。你是第一个真正理解多个维度自由边界问题的数学家。此外，你介绍的方法非常强大，并且仍在许多其他问题中被使用。你能详细说明一下这一切吗？

卡法雷利：融化的冰是自由边界问题的一个例子，自由边界就是冰和水之间的面，界面随着冰的融化而移动。

此类问题的另一个例子是盒子内的气球（或腔内的液滴）。如果气球不受约束地悬浮在空中，它的形状的第一个近似值可由规定的平均曲率方程（mean curvature equation）给出——我们可以从一个事实中推断出这个温和的（mildly）非线性偏微分方程，即气球本身会试图最小化其构型所需的能量。如果被限制在盒子内，气球的表面会根据它是否压在墙上而表现不同，从而使用强烈的（strongly）非线性偏微分方程。不同区域之间的分离曲线称为自由边界。在这一领域，我广泛研究了与固液界面（solid-liquid interface）、射流（jet）和空化流（cavitational flow）以及多孔介质（porous media）中的气体流和液体流相关的数学问题。

纳维—斯托克斯和蒙日—安培方程

Q：让我们客观地聊聊这些问题。1960 年代早期，线性偏微分方程（linear PDE）理论有了长足的发展，如果偏微分方程中未知函数及其偏导数都是线性的，则被称为线性偏微分方程。许多人为此做出了贡献，但最深刻和最重要的成果归功于拉尔斯·霍曼德（Lars Hormander，1931-2012）——根据其在 1962 年获得菲尔兹奖时的论文。不过，值得注意的是，阿尔贝托·卡尔德隆在 1950 年代获得的一些结果对这一发展也非常重要。

所有这一切的结果是，对于线性偏微分方程，存在一种理论。这与非线性偏微分方程的情况形成鲜明对比，后者通常被认为没有“一般”理论，其专业知识在某种程度上被划分为几个本质上不同的子领域。偏微分方程，特别是非线性偏微分方程，在物理学中无处不在，从引力到流体动力学都有。它们在数学中也很重要，并已被用于解决庞加莱猜想和卡拉比猜想等问题。

物理学中的许多基本偏微分方程，如广义相对论的爱因斯坦方程和纳维—斯托克斯方程（Navier-Stokes equations），都是准线性的（quasilinear ，这意味着只出现最高阶导数的线性项，但系数可能是未知函数或其低阶导数）。另一方面，我们回到微分几何中，蒙日—安培方程是完全非线性的，这意味着它具有一个或多个非线性最高阶导数。

在众多悬而未决的问题中，纳维—斯托克斯方程解的存在性和正则性是其中之一。该方程于 2000 年被选为克雷数学研究所的千禧年大奖难题之一。谈谈你对纳维—斯托克斯方程方面的研究。


卡法雷利画的示意图 图片来源：Luis Angel Caffarelli

卡法雷利：1980 年，2015 年阿贝尔奖获得者路易斯·尼伦伯格【Louis Nirenberg，1926-2020，他与纳什（John Nash Jr，1928-2015）共同获奖】邀请我加入纽约大学柯朗研究所担任正教授。这段经历改变了我的学术生涯。尼伦伯格将我的兴趣引向了流体动力学和完全非线性方程。有一天，我和尼伦伯格以及罗伯特·科恩（Robert Kohn，1953-）一起在唐人街散步，我们决定共同撰写一篇关于纳维—斯托克斯方程的论文，这是一组非线性偏微分方程，建模（三维）粘性不可压缩流体流动（viscous incompressible fluid flow）的演变。

这次“CKN”（译注：三人姓名首字母）合作的结果是 1982 年的论文，题为《纳维—斯托克斯方程的合适弱解的部分正则性》（Partial regularity of suitable weak solutions of the Navier-Stokes equations）。我们证明，流在空间和时间上最多在一个一维测度为零的集合（即小于曲线）上有奇点（singularity）。根据弗拉基米尔·谢弗（Vladimir Scheffer，1950-2023）给出的例子，这是一个几乎最佳的结果。

陈述 CKN 定理的一种更技术性的方法如下：设 u 是一个不可压缩流体的纳维-斯托克斯方程的弱解，满足合适的演化条件。为了得出偏微分方程弱解的想法，将方程与测试函数进行积分，然后（正式地）按部分积分以将导数应用于测试函数。结果表明，弱解 u 会正则远离一个一维抛物线豪斯多夫测度（Hausdorff measure）为零的闭集。

这是迄今为止已知的纳维—斯托克斯方程中最好的部分正则性定理（partial regularity theorem）。似乎很难走得更远；我们需要一些深刻的新想法。

Q：尼伦伯格说你有一种“奇妙的直觉”（fantastic intuition），这使得合作者很难跟上你的步伐，“不知何故，他一眼就能看到其他人看不到的东西，但却难解释清楚，”尼伦伯格说。

让我们继续讨论蒙日—安培方程，你已经做出了开创性的贡献，特别是在它们的正则性（regularity property）方面，即高阶可微性（high order differentiability）。蒙日—安培方程是一个完全非线性的偏微分方程，经常出现在微分几何中；例如，它用于构造给定的高斯曲率的表面。你是如何开始研究蒙日—安培方程以及更一般的完全非线性方程的？


卡法雷利从挪威国王哈拉尔德五世手中接下 2023 年阿贝尔奖杯。图片来源：Alf Simensen - NTB / The Abel Prize

卡法雷利：在柯朗研究所的时候，我听了皮埃尔-路易斯·利翁（Pierre-Louis Lions，1956- ；编者注：参见《菲尔兹奖得主皮埃尔-路易·利翁：数学研究如警察办案》）的演讲，他就这个难题留下了一个悬而未决的问题。我利用自由边界理论的思想解决了这个问题，从而找到偏微分方程的两个不同部分之间的联系。然后我与尼伦伯格和乔尔·斯普鲁克（Joel Spruck，1946-）合作，我们一起发表了几篇关于蒙日—安培方程的论文，其中包括一篇关于复蒙日—安培方程的论文（与科恩合作）。

这些论文发表于 1984 年至 1986 年之间，是最早一批发展出完全非线性的二阶椭圆微分方程一般理论的论文，其正则性理论可推广到边界。应该指出的是，1985 年发表在 Acta Mathematica 上的论文题为《非线性二阶椭圆方程的狄利克雷问题 III 黑塞特征值的函数》（The Dirichlet problem for nonlinear second-order elliptic equations III. Functions of the eigenvalues of the Hessian）在几何分析领域特别有影响，因为许多几何偏微分方程都适合此方法。

分数拉普拉斯算子

Q：几十年来，你写了许多论文，通常是与他人合作的，这些论文标题中都有“蒙日—安培方程”。尤其值得注意的是，你 1990 年代提出的正则性定理代表了理解蒙日—安培方程的重大突破。特别是，根据阿贝尔奖的评价，你“通过证明明确已知的奇点解的例子是唯一的，填补了对奇点理解的空白。”

现在让我们谈谈你在 2007 年发表的一篇较近的论文（与路易斯·西尔维斯特合著），我们刚才提到过这篇论文，标题为《一个与分数拉普拉斯算子有关的推广问题》。这篇论文有 15 页长，但对偏微分方程的许多不同子领域都产生了巨大影响。这也是你被引用最多的论文，在 MathSciNet 上被引用超过 1600 次！跟我们说说这篇论文吧。

卡法雷利：在不涉及太多技术性的情况下，让我尝试解释一下本文的主要思想以及一些结果。拉普拉斯算子（Laplacian）是二阶微分算子。上的分数拉普拉斯算子 (-Δ)^s ，其中 s 是 0,1 之间的实数，也许通过它的傅里叶变换最容易理解，其中微分对应于与变量范数的乘法。因此，分数拉普拉斯算子通过乘以变量范数的适当的幂对应于傅里叶变换。定义分数拉普拉斯算子 (-Δ)^s 的另一种方法是通过公式



其中 f 是一个的函数，Cn,s 是一个规一化常数。

该论文的主要思想是证明一个结果，该结果将与拉普拉斯算子分数幂相关的非局部问题（nonlocal problem）与局部退化椭圆问题（local degenerate elliptic problem）联系起来。

这样，我们能够通过利用纯粹的局部技术来证明关于涉及拉普拉斯算子问题解的几个正则性结果。特别是，我们证明了哈纳克不等式（Harnack inequality）和边界哈纳克不等式（boundary Harnack inequality）。

工作风格，学生和最近的研究

Q：作为一名数学家，你非常多产，而且非常善于交际。你发表了 320 多篇论文，与 130 多人合著论文，指导了 30 多名博士生。你对此有何评论？

卡法雷利：多年来，我有机会加入优秀的机构，从布宜诺斯艾利斯大学开始，然后是明尼苏达大学、纽约大学柯朗研究所、芝加哥大学、普林斯顿高等研究院，以及过去 26 年的得克萨斯大学奥斯汀分校。

这使我有机会与世界各地的优秀科学家交朋友并进行合作。这也为我带来了更多的机会来指导那些才华横溢的年轻人，他们为我的研究注入了新的活力。我曾在更广泛的偏微分方程领域的不同主题之间转换。有些人则在非常集中的领域做得非常出色。但科学更像是一场全球性的进化，它需要思想的交流，从不同的角度看待事物，慢慢改进任何可以改进的东西。

Q：相比于理论建设者，你更像是一个问题解决者吗？

卡法雷利：是的，的确如此。从广义上讲，有两种数学家——有些人发展理论，有些人主要解决问题。我属于后者。（编者注：《陈省身访谈录：什么是好的数学？》一文中，陈省身谈到了两类数学家——设计师和工匠，卡法雷利属于两者皆能。）

Q：正如你告诉我们的，你在得克萨斯大学奥斯汀分校度过了 26 年。你的妻子艾琳·马丁内斯·甘巴（Irene Martinez Gamba）也是一名数学家，是同一所大学的计算工程和科学教授。你在得克萨斯大学有 20 多名研究生。请告诉我们你在那里的研究情况。

卡法雷利：由于我又有了研究生，我的研究得到了极大的扩展；我仍然与他们中的许多人保持着长期的合作。我感谢他们所有人。在我从事的具体研究课题中，我想列举三个：

（1）【利普希茨（Lipschitz）】表面检测中的自由边界；

（2）分数扩散（fractional diffusion）问题，这是一个全新的理论，多年来占满了我的日程表；

（3）我一直研究的蒙日—安培方程及其在完全非线性配置中的正则性理论。

我还想提到的是，我与一群工程师和自然科学家进行了交流。我非常喜欢与他们进行讨论，因为他们在某种程度上要依赖于我的一些想法。

Q：在访谈的最后，我们总是会询问数学以外的兴趣。你有什么特殊的兴趣或爱好吗？

卡法雷利：我喜欢做饭，但我的妻子是比我好的厨师。如果有时间，我也喜欢踢足球。我还弹钢琴，我更喜欢古典音乐。

Q：我们谨代表挪威数学会、欧洲数学会和我们两位，感谢你接受这次有趣的采访。

卡法雷利：非常感谢。

作者简介

Bjorn Ian Dundas ，挪威卑尔根大学的数学教授。他的研究兴趣是代数 K-理论、同伦类型论和代数拓扑。

Christian F. Skau ，挪威科技大学（NTNU）的数学科学系名誉教授。他的研究兴趣是 C* 代数及其与符号动力系统的相互作用。他对阿贝尔的数学著作也非常感兴趣，发表了几篇关于这个主题的论文。

好玩的数学 2023-12-11 22:45 发表于江西