推翻数学大厦的蚂蚁问题

elim

春风晚霞 发表于 2023-12-14 00:47
elim先生：
       在闭嘴之前，我还想作如下三点申辩：
       ①、\(\displaystyle\lim_{n \to \in ...

春风晚霞先生，我以为任何因方便而不严格的说法到头来都是加倍的不方便．
不如给出序列极限的严格定义：给定序列\(f:\mathbb{N}^+\to\mathbb{R}\), 若有\(A\in\mathbb{R}\)
任给\(\varepsilon>0,\) 存在\(N_{\varepsilon}\in\mathbb{N}\) 使\(|f(n)-A|< \varepsilon\) 对一切 \(n(> N_{\varepsilon})\) 成立，
则称 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}f(n)=A.\)   根据这个定义易见\(\displaystyle\lim_{m\to\infty}\small\frac{1}{m}=0<  \frac{1}{n}\;(\forall  n\in\mathbb{N}^+)\)

所以先生沿用的说法不太严格．不适合稳准狠地对付青山，jzkyllcjl 这些无赖．

门外汉

老春头认为蚂蚁能爬到1米，而老E头认为蚂蚁爬不到1米，这就是二者争论的焦点

mathmatical

压死骆驼的最后一根稻草，，

春风晚霞

elim 发表于 2023-12-14 09:23
春风晚霞先生，我以为任何因方便而不严格的说法到头来都是加倍的不方便．
不如给出序列极限的严格定义 ...

elim先生：
       大概您会错意了，我们使用的是威尔斯特拉斯数列极限的定义：若对于每个正数ε，不论它怎样小，恒有序号\(N_ε\)，使在n>\(N_ε\)时，一切\(x_n\)的值满足不等式｜\(x_n\)-a｜<ε，则常数a称为整序变量x=\(x_n\)的极限。记为\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}x_n=a\)。
      我在 61楼所说的〖徐利治先生所说的“极限可达”，是指若\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}f(n)=A\)，则当n→∞时，f(n)=A。 〗该命题可简单说成是：若数列极限存在，则必可然可达，命题的证明也较简单，先生亦可用您的严格定义自行证明。威尔斯特拉斯数列极限是柯西数列极限的进一步完善，彻底杜绝了“趋向但不等于”的弊端。事实上柯西的数列收敛原理的充分性，用他的极限趋向说就莫法证明，所以要证明它就必须用威尔斯特拉斯的ε—N语言进行论证。

elim

门外汉 发表于 2023-12-14 03:21
老春头认为蚂蚁能爬到1米，而老E头认为蚂蚁爬不到1米，这就是二者争论的焦点

蚂蚁能爬到头，对分割的念叨却总是烂尾．这就推翻了对数学的推翻．

elim

春风晚霞 发表于 2023-12-14 06:07
elim先生：
       大概您会错意了，我们使用的是威尔斯特拉斯数列极限的定义：若对于每个正数ε，不 ...

若数列极限存在，则必可然可达，命题的证明也较简单，先生亦可用您的严格定义自行证明。

先生证给我看看？
我看问题出在“什么是可达”上．如果说序列可达其极限的意思就是序列的极限等于序列的极限这种废话．那么徐利治没有错，只是啰嗦了点．
如果说序列达到其极限\(a\)是指存在某序数\(N\)使\(a_n=a\;(\forall n> N)\) 这种较真准则，那么徐利治就马失前蹄了．因为\(0< 1/n\to 0\) 是圆不了的反例．

春风晚霞

elim 发表于 2023-12-14 16:00
先生证给我看看？
我看问题出在“什么是可达”上．如果说序列可达其极限的意思就是序列的极限等于序 ...

elim先生：
      威尔斯特拉斯数列极限的定义：若对于每个正数ε，不论它怎样小，恒有序号\(N_ε\)，使在n>\(N_ε\)时，一切\(x_n\)的值满足不等式｜\(x_n\)-a｜<ε，则常数a称为整序变量x=\(x_n\)的极限。记为\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}x_n=a\)。
       先生置疑“什么是极限可达？”春风晚霞以为命题：“若\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}f(n)=A\)，则\(n→∞时，f(n)=A\)”亦可作为极限可达的定义。
       现在我们证明数列\(\{\frac{1}{n}\}\)的极限可达。由于数列\(\{\frac{1}{n}\}\)收敛极为缓慢，所以我们可用施篤兹定理证明其极限可达。
       证明：在施笃兹定理\((\frac{*}{∞})型\)中，令\(x_n\)=1；\(y_n\)=n.显然\(x_n\)、\(y_n\)满足定理①、②两个条件。并且\(\tfrac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=\tfrac{0}{1}=0\)。所以数列\(\{\frac{1}{n}\}\)的极限是0，而不是趋向于0。
       注意：极限趋向说不定因素较多，比如“充分逼近”、“无限靠扰”、“趋向但不等于”……，其“逼近”、“靠拢”、“趋向”……的程度皆无法界定。故用柯西极限在作定量分析时需要慎重。
       顺便说说，徐利治先生没有马失前蹄．0<1/n→0也不是极限可达的反例！

elim

春风晚霞 发表于 2023-12-14 14:57
elim先生：
      威尔斯特拉斯数列极限的定义：若对于每个正数ε，不论它怎样小，恒有序号\(N_ε\)， ...

徐氏达到其实是似是而非的东西:  虽然\(1/n\to 0\;(n\to\infty)\), 但无论n 怎么大，都有 \(1/n \ne 0\).

门外汉

elim 发表于 2023-12-14 22:53
徐氏达到其实是似是而非的东西:  虽然\(1/n\to 0\;(n\to\infty)\), 但无论n 怎么大，都有 \(1/n \ne 0\ ...

强烈支持，所以蚂蚁永远走不到1米

elim

门外汉 发表于 2023-12-14 17:04
强烈支持，所以蚂蚁永远走不到1米

1/n 恒大于0 是明显的事实．但门外汉你的“所以”是非常弱智的．