推翻数学大厦的蚂蚁问题

痛打落水狗

春风晚霞 发表于 2023-12-22 03:03
我用口语解极限算式有什么错？真是欲加其罪何患无词！我真不知道我什么时候动了你的奶酪？

犯错误没关系，改正就好。讲气话伤身体，千万避免。

春风晚霞

痛打落水狗 发表于 2023-12-22 03:15
犯错误没关系，改正就好。讲气话伤身体，千万避免。

       关于用口语描述极限，这是柯西极限趋向说的常事，(参见菲赫金哥尔茨《微积分学教程》P53页第16至第17行)。就是威尔斯特拉斯极数列限定义，“我们也说：变量趋向于a，并写成\(x_n\)→a，最后数a也叫做序列(2)的极限. ”(参见见菲赫金哥尔茨《微积分学教程》P53页倒数笫1行到P54页第1行)。所以我用口语把\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}a_n=a\)解读成\(当n→∞时a_n=a\)又何错之有？
       关于左右连续的概念，对于在区间\(\mathscr{X}\)的左(右)端函数有定义，显然只能谈它的右(左)连读性(参见菲赫金哥尔茨著《微积分学教程》P119页9至10行。
       说真的，我非常希望你们能指出我160楼帖文论题、论点、论据或论证过程中哪里错了？当然也更希望你们亮出自己的观点倒底当n→∞时\(\tfrac{1}{n}\)是大于0还是等0，以避免我拍马反而拍到马腿上。

痛打落水狗

春风晚霞 发表于 2023-12-22 05:46
关于用口语描述极限，这是柯西极限趋向说的常事，(参见菲赫金哥尔茨《微积分学教程》P53页第16 ...

事实其实很清楚，徐利治、菲赫金哥尔茨、elim先生以及我本人采用的写法是一致的，都是"\(x\to x_0\)时\(f(x)\to A\)"，而且这是数学论著中普遍采用的写法，只有您一个人采用这种与众不同的“书面口语表达式”。这个问题应当到此为止，您可以自行选择以后是否坚持这种写法，我不再与您讨论。

痛打落水狗

以下是《微积分学教程》第8版第1卷中译版第118和122页的部分内容，足以说明此书定义函数在某点连续、左连续、右连续，大前提都是该点位于定义域内，涉及到区间端点时也只考虑有限的数，与\(\pm\infty\)无关。另一个问题的讨论也应当到此为止。

春风晚霞

elim 发表于 2023-12-22 01:43
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=a\) 则当\(n\to\infty\)时\(a_n \to a\)是同义反复．

命题 \(\d ...

一、\((\displaystyle\lim_{n\to ∞}a_n=a)\)\(\iff (当n→∞时a_n=a)\);
二、数项级数和的概念:
【定义】:若数项级数的部分和数列\(\{s_n\}\)收敛于s(即\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}s_n=s)\)，则称数项级数(1)收敛，称s为数项级数(1)的和，记为
\(s=u_1+u_2+u_3+…+u_n+…\)或\(s=\sum u_n\)
(参见华东师大《数学分析》下册P2页)；
补数项级数(1)的概念：
【定义】给定一个数列\(\{u_n\}\)，把的各项依次用“+”号连接起来的表达式
\(u_1+u_2+u_3+…+u_n+…\)称为常数项级数(简称级数)，其中\(u_n\)1称为级数(1)的通项，或一般项。(参见华东师大《数学分析》下册P1页)。
       所以若\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}s_n=s)\)\(\iff\)n→∞时，\(s_n=s\).

春风晚霞

痛打落水狗 发表于 2023-12-22 06:00
事实其实很清楚，徐利治、菲赫金哥尔茨、elim先生以及我本人采用的写法是一致的，都是"\(x\to x_0\)时\(f ...

笑话，你们写法一致，我就必须和你们一致。你们最好找出一个小于“任意预先给定的、无论怎样小的子正数ε”而又大于0的\(\tfrac{1}{n}\)我就服你们了。你们能办到吗？原以为你们也是维护现行实数理论的，不曾想果然拍马拍到马腿上了。

痛打落水狗

因为定义了\[\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n a_k:=\sum_{k=1}^\infty a_k,\]
以及\[s_n=\sum_{k=1}^n a_k\]
才能有\[\sum_{k=1}^\infty a_k =\lim_{n\to\infty}s_n=s \Leftrightarrow n\to\infty, s_n\to s.\]

望早日理清相关概念与记号，不要再闹笑话。

春先生似乎是被“笑话”一词刺激到了，所以在191楼评论我这一帖“自以为是”。

然而，“笑话”一词在本楼首次出现，是在春先生的186楼。

既然不许本人点灯，那本人只好同意终止交流了。

痛打落水狗

春风晚霞 发表于 2023-12-22 07:41
笑话，你们写法一致，我就必须和你们一致。你们最好找出一个小于“任意预先给定的、无论怎样小的子正数 ...

您的问题证明您对\(\epsilon\)-\(N\)和\(\epsilon\)-\(\delta\)语言的学习还不过关，请继续努力。
数列极限的\(\epsilon\)-\(N\)语言定义中，需要的是对每个\(\epsilon >0\)，都有一个对应的\(N\), 所以有很多课本都会更加明确地写成\(N(\epsilon)\), 而不是对所有的\(\epsilon >0\)，找到唯一的\(N\)。所以您这个问题没有意义。
春先生，您在186楼没有特地说明知道\(N(\epsilon)\)，表述也含混不清，后来才说您在160楼引用标准课本中的内容包含了\(N(\epsilon)\)，因而才导致本人误会。然而这让本人更加纳闷。对任意一个\(\epsilon\)，都能找到\(N(\epsilon)=\lceil\frac{1}{\epsilon}\rceil\)满足\(0<\frac{1}{N(\epsilon)}<\epsilon\), 这不是很经典的问题吗？为何要专门在这里问？
另：既然您已经承认您的写法与经典数学论著不同，那就更没什么可说的了。

春风晚霞

痛打落水狗 发表于 2023-12-22 07:51
您的问题证明您对\(\epsilon\)-\(\delta\)语言的学习还不过关，请继续努力。
既然您已经承认您的写法与 ...

也许吧，我对威尔斯特拉斯的数列收敛原理学习还不过关，但你也好不了多少？

春风晚霞

痛打落水狗 发表于 2023-12-22 07:46
因为定义了\[\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n a_k:=\sum_{k=1}^\infty a_k,\]
以及\[s_n=\sum_{k=1}^n a_k\ ...

现把197楼帖子的笫二部部重帖于后，你以为只有你懂得些，你太会找茬了吧？
二、数项级数和的概念:
【定义】:若数项级数的部分和数列\(\{s_n\}\)收敛于s(即\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}s_n=s)\)，则称数项级数(1)收敛，称s为数项级数(1)的和，记为
\(s=u_1+u_2+u_3+…+u_n+…\)或\(s=\sum u_n\)
(参见华东师大《数学分析》下册P2页)；
补数项级数(1)的概念：
【定义】给定一个数列\(\{u_n\}\)，把的各项依次用“+”号连接起来的表达式
\(u_1+u_2+u_3+…+u_n+…\)称为常数项级数(简称级数)，其中\(u_n\)称为级数(1)的通项，或一般项。(参见华东师大《数学分析》下册P1页)。
       所以若\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}s_n=s\)\(\iff\)n→∞时，\(s_n=s\).