推翻数学大厦的蚂蚁问题

春风晚霞

elim 发表于 2023-12-23 06:57
春风先生的 \(n\to\infty\)时，\(1/n=0\) 是什么意思我不知道。因为我不知道什么时候是 \(n\to\infty\) ...

elim先生：
       为讲清楚①什么是∞？②什么叫n→∞？③什么时候会有\(\tfrac{1}{n}=0\)？④为什么\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}\tfrac{1}{n}=0\)\(\iff\)\(当n→∞时，\tfrac{1}{n}=0\)？几个方面回帖。帖子较长，望众网友，耐心阅读，读懂后再哂。
一、现代分析关于无穷的定义
       ①、什么是无穷大：
     【定义】：若整序变量\(x_n\)，由某项开始，其绝对值变成且保持′着大于预先给定的任意大数E>0，当n>\(N_E\)时恒有|\(x_n\)|>\(N_E\)，则称变量\(x_n\)为无穷大（参见菲赫全哥尔茨《微积分学教程》四卷八册版笫一卷，第一分册P37页；及其《数学分析原理》两卷四册版第一卷第一分册P59页无穷大的定义)
       不难看出无穷大是相对于预先给定的任意大数E>0的集合，记为\(\mathbb{N}_∞\)，即\(\mathbb{N}_∞=\{n｜n>N_E，n∈N\}\).
       根据E的任意性和皮亚诺公理（Peano axioms)，我们不难证明集合\(\mathbb{N}_∞\)≠\(\Phi\)。事实上当\(n_0>N_E\)时，有\(n_1=n_0+1\)>\(N_E\)，……，\(n_{i+1}=n_i+1\)>\(N_E\)，……所以\(n_j\)∈\(\mathbb{N}_∞\)，j∈N. 所以\(\mathbb{N}_∞\)是无限集。
         ②、什么叫n→∞？
         因为∞是一个集合，所以n和∞的关系只能是n∈\(\mathbb{N}_∞\)和\(n\notin\mathbb{N}_∞\)两种情况。
【定义】：当n∈n∈\(\mathbb{N}_∞\)，称n→∞.
       有了这个定义：\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}a_n=a\)\(\iff\)\(\displaystyle\lim_{n∈\mathbb{N}_∞}a_n=a\)
命题\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}a_n=a\)\(\iff\)\(当n→∞时a_n=a\). 亦等价表示为\(\displaystyle\lim_{n∈\mathbb{N}_∞}a_n=a\)\(\iff\)\(当n∈\mathbb{N}_∞时，a_n=a\)，
       ③、自然数集\(N=\{n｜n≤N_E，n∈N\}\)\(\bigcup\)\(\{n｜n>N_E，n∈N\}\)（\(N_E\)与预先给定的任意大的数E相关。该命题本帖证明从略)
二、证明\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}a_n=a\)\(\iff\)\(当n→∞时a_n=a\).
       (1)、【证明（充分性）】
       因为\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}a_n=a\)，所以对任意给定的、无论怎样小的正数ε，当n∈\(\{n｜n>N_ε，n∈N\}\)有\(\{n｜n>N_ε，n∈N\}\)有\(a_n=a\).即\(当n→∞时a_n=a\).【充分性证毕】
     （2）、【证明（必要性）】反证法  假设\(当n→∞时a_n≠a\)，即n∈\(\{n｜n>N_ε，n∈N\}\)时\(a_n≠a\)，则必有｜\(a_n-a\)｜=α>0，取\(ε=\frac{α}{2}\)，则｜\(a_n-a\)｜=α>\(ε=\frac{α}{2}\)=ε，这与\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}a_n=a\)予盾(即没有\(当n→∞时a_n=a\)这个条件，一定没有\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}a_n=a\)这个结论，亦即无之则必不然)。所以假设不成立。【必要性证明】
        综合(1)、(2)知：\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}a_n=a\)\(\iff\)\(当n→∞时a_n=a\).
        作为特例当\(a_n=\tfrac{1}{n}\)也有\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}\tfrac{1}{n}=0\)\(\iff\)\(当n→∞时\tfrac{1}{n}=0\).【注意】这个结果并不显然，请结合160楼所给\(y=\tfrac{1}{10^x}\)曲线看，使曲线与x轴绝对重合的\(\{n｜n>N_ε，n∈N\}\)是存在的。当n=集合\(\{n｜n>N_ε，n∈N\}\)中任一个数时，都有\(y=\tfrac{1}{n}=0\)

elim

春风晚霞 发表于 2023-12-23 00:58
elim先生：
       为讲清楚①什么是∞？②什么叫n→∞？③什么时候会有\(\tfrac{1}{n}=0\)？④为什么 ...

先生的\(N_{\infty}\) 是一个空集．

春风晚霞

elim 发表于 2023-12-23 08:23
先生的\(N_{\infty}\) 是一个空集．

请先生结合160楼所给\(y=\tfrac{1}{10^x}\)曲线看，当ε=\(\tfrac{1}{10000}\)时，曲线\(y=\tfrac{1}{10^5}\)时，便与x轴近似重合了。这时曲饯与x轴误差是\(\tfrac{1}{10^5}\)，当然\(\tfrac{1}{10^5}\)不能算很小，更不能算无限小。对于您想得自然n，\(\tfrac{1}{10^n}\)也不算无论怎样小的正数。所以当正数ε无论怎样小时，一定存在集合\(\{n｜n>N_ε，n∈N\}\)，当x∈\(\{n｜n>N_ε，n∈N\}\)时，′曲线\(y=\tfrac{1}{x}\)与x轴绝对重合了。请先生写出您得到集合\(\mathbb{N}_∞\)=\(\Phi\)的解析过程。

elim

春风晚霞 发表于 2023-12-23 01:52
请先生结合160楼所给\(y=\tfrac{1}{10^x}\)曲线看，当ε=\(\tfrac{1}{10000}\)时，曲线\(y=\tfrac{1}{10^ ...

看似重合，其实不然．先生自娱自乐可以．不登学术大雅之堂．

春风晚霞

elim 发表于 2023-12-23 08:56
看似重合，其实不然．先生自娱自乐可以．不登学术大雅之堂．

您信不信是您的自由，能“自娱自乐”足矣！春风晚霞从未奢望“登学术大雅之堂”。还是请先生把您能登大雅之堂的东西拿出来，证明您得到空集的推导是对的！并且也请您用您能登大雅之堂的理论拿出来解释x→∞是哪个时刻？

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2023-12-23 05:58
春风晚霞；你坚持徐利治《论无限》，那么请你说说 n→∞ 时 S2n=1/2^n 与，S 2n+1=1/2^n+1 是否相等？ ...

先生所询问题与elim先生、痛打落水狗网友他们的认识一致(即极限存在，但不可达)、论证方法也完全相同(即用不完全列举代替完全归纳)，望先生阅读160楼、211楼自悟。恕不单独回复！

elim

春风晚霞 发表于 2023-12-23 02:03
您信不信是您的自由，能“自娱自乐”足矣！春风晚霞从未奢望“登学术大雅之堂”。还是请先生把您能登大 ...

\(\mathbb{N}_{\infty}\subset\mathbb{N}^+\) 没错吧？ 如不然，有\( n\in\mathbb{ N}_{\infty}\) 不是自然数，\(1/n\) 就没有意义。
但如果\(\varnothing\ne N_{\infty}\subset\mathbb{N}^+\), 就有正整数\(n\in \mathbb{N}_{\infty}\) 于是 \(1/n > 0.\) 所以 \(\mathbb{N}_{\infty}\) 不能有元素.
数学的严密深邃，既是必须，也天然是大雅之堂。逻辑上一团糟的东西就是垃圾。

标准分析已经扬弃了【当\(n\to\infty\)时，\(a_n = a\)】这种垃圾, 有
【\( a_n \to a\;(n\to\infty)\)】 就足够了.

春风晚霞

elim 发表于 2023-12-23 16:22
\(\mathbb{N}_{\infty}\subset\mathbb{N}^+\) 没错吧？ 如不然，有\( n\in\mathbb{ N}_{\infty}\) 不是自 ...

       没错\(\mathbb{N}_∞\)\(\subset\)\(\mathbb{N}^+\)，并且\(\mathbb{N}_∞\)≠\(\Phi\)，假设\(\exists\)\(n\)∈\(\mathbb{N}_∞\)且\(\tfrac{1}{n}=α>0\)，令ε=\(\tfrac{α}{2}\)，则恒有|\(\tfrac{1}{n}\)-0｜=α>ε，这与对\(\forall\)ε>0，\(\exists N_ε\)，当n>\(N_ε\)时，恒有｜\(\tfrac{1}{n}\)-0｜<ε矛盾。所以，\(\tfrac{1}{n}\)=α>0的假设不成立。故此\(\tfrac{1}{n}=0\)。

【附217楼原文评述】
       \(\mathbb{N}_∞\)\(\subset\)\(\mathbb{N}^+\)没错吧？如不然，有n∈\(\mathbb{N}_∞\)不是自然数，1/n就没有意义。(我不否认，这倒是几句实在话)
       如果\(\phi≠\mathbb{N}_∞\)\(\subset\)\(\mathbb{N}^+\), 就有正整数n∈\(\mathbb{N}_∞\)，于是\(\tfrac{1}{n}>0\)(先生证明过吗？瞎蒙的吧)，所以 \(\mathbb{N}_∞\)不能有元素(又在瞎蒙，证明过吗？).数学的严密深邃，既是必须，也天然是大雅之堂。逻辑上一团糟的东西就是垃圾(原来先生心目中的逻辑净土，天然大雅之堂就是靠瞎蒙乱猜建立起的呀！).
       标准分析已经扬弃了【\(当n→∞时，a_n=a\)】这种垃圾(先生原来根本就没有读过(应该是没有读懂)211楼关于\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}a_n=a\)\(\iff\)\(当n→∞时a_n=a\)的证明，不妨再次告诉先生：\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}a_n=a\)是\(当n→∞时a_n=a\)的充分条件，\(当n→∞时\)\(a_n=a\)是\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}a_n=a\)的必要条件。您不承认的并不等于就是【标准分析已经扬弃了】的，先生也来免太高看自己了吧？), 有【\(a_n→a(n→∞)\)】 就足够了。(靠瞎蒙确实够了，要严格论证还远远不够！)

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2023-12-23 05:58
春风晚霞；你坚持徐利治《论无限》，那么请你说说 n→∞ 时 S2n=1/2^n 与，S 2n+1=1/2^n+1 是否相等？ ...

先生所询问题与elim先生、痛打落水狗网友他们的认识一致(即极限存在，但不可达)、论证方法也完全相同(即用不完全列举代替完全归纳)，望先生阅读160楼、211楼自悟。不再单独回复！

痛打落水狗

春先生竟然认为不学无术的曹老头知道现代数学分析如何定义极限，同时又竟然认为徐利治先生不知道何为极限表达式可实现，可见其不仅对曹老头存在误解，对现代数学分析恐怕同样是一知半解。

补充：徐利治专门对极限表达式的可实现性作出定义，定义中包含了非平凡的限制条件，显然是因为有些极限表达式可实现，而另一些不可实现。这本是非常自然的事情，却被春先生硬说成是“所有极限都可达”，还造谣本人持有“极限存在，但不可达”的极端片面认识，这只能继续损害他自己的脸面。