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数学幻境小说系列 3 ——那片正弦海

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发表于 2023-11-20 17:03 | 显示全部楼层 |阅读模式
数学幻境小说系列 3 ——那片正弦海

作者 | jcy

来源 | “数学幻境”公众号

我静坐于一间安静的房间,心中充满了浓厚的思考氛围。我围绕着一道数学难题,全神贯注地苦思冥想着。时间似乎停滞了,在我的世界里只有这个问题存在。

我紧锁双眉,眼神凝视着抽象的空间,试图从其中找到线索。我的大脑运转得如同一台复杂的计算机,分析、推理、组合各种可能性。每一次灵感的迸发都让我的心跳加速,仿佛离答案只有一步之遥。然而,我却总是找不到一种准确的思路。

时钟已指向十一点半,困意席卷而来,我的眼皮逐渐变得沉重。思考的负担开始在我的身上压迫着,我感到一阵剧烈的疲惫。我咬紧牙关,努力保持清醒,但疲劳最终还是战胜了我的意志。我不禁打了一个呵欠,软软地靠在书桌上。困倦和睡意缠绕着我,不知不觉间我就进入了梦乡。

眼前是一片纯白色,而我站在一条极细的线上。我蹲下身来,仔细地打量着脚下的线,上面还有一段小小的文字:y=7 。

耳边响起了一个懒洋洋的声音,“你好啊!我是一个点,坐标是(2,7),是你的数学导游。”一个黑点忽然从我身后闪现到我眼前,吓了我一大跳。

那个点开始向前平移,来到了一条斜线前,并不断地上下移动,示意我走来。导游顺着斜线向下滑去,我也紧随其后。一条接一条的横线掠过,我的脚突然触碰到了一条硬邦邦的线:那是 y=1 。

“y=3x+1 ,我的家园,”导游满不在乎地说,“看到那片波浪了吗?那就是正弦函数,起起伏伏的,你应该知道吧?”

“正弦函数!”我憎恶地说,“就是这函数把我害惨了,刚刚我就正做着一道关于正弦函数的题,结果怎样绞尽脑汁地想都得不到答案!”

不知不觉间,导游从口袋里掏出了一大堆数字与符号,它跳来跳去,像个魔法师一样很快将这些杂乱无章的东西变成了一条月牙形的曲线——看起来像圆的一部分弧。我坐了上去,船轻轻地晃动着,导游来到了船头,变成了弧上的一个小点。

“正东方向,出发!”

正弦波浪实在是太无趣了,船头时而朝上,时而朝下,十分颠簸,让我很不舒服。

“你确定?这可以解决那道难题?”我有点生气,“坐在这晃悠的破船上,看外面纯白的风景?我要回去!”

“你过来的地方有一个黑洞,可以从那边回去……看那里!”导游说。

我不情愿地扭头,看到了一些杂乱无章的线条,可仔细一看,猛地一惊:天哪!这个数学世界实在是太逼真了!

由于我们沿着 x 轴向正东前进,我看到了第一象限的许多函数:反比例函数,一次函数,三次函数……最前方是反比例函数,我仅能看到一部分曲线,左边的曲线突然攀升,一直向上、向上,在 y 轴正半轴不见了踪影;右边的曲线无限向我们的航线逼近,我甚至亲手能触摸到那条近似直线的曲线,正弦海的波浪很快淹没了它,水里的线甚至添加了一种梦幻的色彩。

我看到了 y=x 这条直线,它坦然地上升,幅度不快也不慢,与之相比,斜率大于 1 的直线显得陡峭,小于 1 的直线显得平缓,这可是我从不在现实世界中获得过的感受。

y=x^2 显得十分优美,我遥望着它的对称轴—— y 轴,在 y 轴左侧缓缓下降,右侧则缓缓上升,好像连接着世界的过去与未来;还有那指数函数和对数函数,指数函数爆发出惊人地力量不断攀升,甚至超过了反比例函数的高度;对数函数则相反,一端连接着无尽的深渊,一端无限趋近于平缓。

这个世界实在是太美了,它好像把抽象的东西变为了真实世界,在我眼中,试卷上的数学世界显得十分丑陋,杂乱的线条让我无从下手;这个世界十分清晰,我甚至能看到两个函数的交点,两个函数的关系——平行,相交……

“这个世界是三维的吗?”我问。

“不,这个世界的宽度几乎是 0 ,”导游说,“远处还有几个方程,圆的,椭圆的,双曲线的……然后就没了。”



我继续欣赏着数学世界,突然,一阵反胃感袭来,一阵阵颠簸让我有些晕船了。我对导游说:“导游,我们还是步行吧,坐船实在是太……太晕了。”

“才到原点向东 22π 就不行了……算了,我们下船,到 y=2 上去游览吧。”

导游刚把船停下,一阵剧烈的震动,让我们的船发生了移位。X 轴上的数值增加了 π/2 ,我们来到了(45π/2,0)这个位置上。

我和导游刚想下船,谁知船竟然越来越高,很快看见了 y=5 这个标志,导游猝不及防,船突然倾斜,我们猛地从 5 的高度滑了下去,就如坐过山车一般。“砰!”船重重地砸在了水面上,还好船并没有翻。

“究竟发生了什么?”我惊慌地问导游。

“又是那个点在捣乱。”它似乎已经料到了。

导游二话不说,从口袋里掏出了一个 x ,一个等号,还有 23π 这个数值。正当导游想组装函数,船又被猛地巅起,窜地更高,竟然让我看到了 y=10 这条线。慌忙中,等号掉了下去。

“快跳!”导游大叫。

我闭着眼睛向下一跳,双脚重重地着了地,来到了 y=8 这条线上。不知何时,导游又出现在我面前。

“给我一个函数,我们必须马上去原点!”

现在一定是出什么事了,可能是这个世界即将毁灭,还是函数们复活了?如果要离开世界,我们也应该去我刚来的地方,好像是(5,7)

“两点之间直线最短,我要创建一个一次函数,对,正比例函数……”

我们的坐标是(45π/2,8),如果想创建一个正比例函数,利用斜率公式,我们要用 y 轴坐标除以 x 轴坐标。默默算了一会儿,我报出答案:y=45πx/16 !

“不错!”导游夸奖了一句,便开始寻找各种数字。

它很快变出了 y ,4 ,5 ,1 ,6 ,π ,x ,还有 = ,/ 两个运算符号。将 45/16 组装起来,再把 π 安在分子上,装好 y 和 x 。一条线赫然出现,不太倾斜,直通原点。

导游又变出了一个方程:(x-45π/2)^2+(y-8)^2=1 ,一个圆出现了,导游将圆挂在正比例函数上,我心领神会,用手握住这个半径长 1 米的圆。像公园里的索道一样,我和导游同时滑了下去,离原点越来越近了。原点好像在发出一种悠悠的光,那光时亮时暗,好像是有一个人在控制。

正弦海突然狂躁起来,眼前赫然出现了一道巨浪——大约有10个单位那么高。我看见了原点,那是一个小屋子,里面有灯光,时亮时暗。关键时刻,我伸出腿,利用惯性,踹开了大门,顺势滑进了小屋。

小屋里只有一个点,点上面有一个小小的标签:(2,1/3)。

我打量了一下周围,那边只有一个屏幕和一个键盘,屏幕上显示着:y=a sin(bx+c),下面是 a,b,c 的控制窗口。我猛地想起来:老师好像讲过,a 越大,正弦函数的振幅越大;b 越大,函数越密集;c 则是初始相位,调整 c ,可以调整函数在坐标系的位置。怪不得那个点可以让海面波涛汹涌啊。

“又是你!”导游气愤地喊,“你想让我们翻船!”

“确实,”那点回答,“你知道,我有正弦海的操控权。”

导游猛地扑了上来,却扑了空,由于两个都是点,空间很大,(2,1/3)很快就闪躲了。

“别以为你是反函数,你就能制裁我们!”

“反函数嘛,当然是要跟你们作对。”

“你快回去!”导游冲我喊,“回到你的世界里!”

“那回去的黑洞已经被我移到 tan90° 那么高的地方,你回不去了!”(2,1/3)得意洋洋地说。

情急之下,导游突然想到一个消灭那点的方法,“快,把那点捉住!”

我是三维空间的人,很快就将(2,1/3)攥在手里。(2,1/3)试图逃脱,却无济于事。我听从了导游的安排,将那个点猛地向左一甩,(2,1/3)大叫着,突然,它开始不受控制地坠落下去,一直到没了踪影。

“干得漂亮!你把那点扔进了第三维的空间,点只能在二维生活,到了第三维空间就回不来了。”导游说,“它经常胡说八道,也许你还能看到回去的那个黑洞。”

我向外望去,正弦海已经停止了波涛汹涌,慢慢恢复平静。而令我绝望的是:我刚来的地方变成了一片空白,根本就没有回去的黑洞。

我与导游一样,被困在这个世界里了。

没想到数学世界里竟然有黑夜,就像现实世界一样。看着外面纯白的世界慢慢变成黑色,函数线条也不见了踪影。

我与导游坐在 y=3x+1 这条线上,导游向我讲述了所有事情的来龙去脉:

在它诞生的时候,这个世界还没有那么复杂。y=3x+1 这条线并不出名,至少远没有 y=x 这条线出名。y=x 平分了第一与第三象限的夹角,是那时全世界最让点们羡慕的一条线。后来,正弦函数出现了,那是一条又一条起伏的波浪,在数学世界成为了一片海,由于 y=3x+1 这条线离正弦海特别近,这条线上的点与 y=x 上的点,自然承担起管理正弦海的工作。

直到反函数概念的提出,y=x 再一次被重视,是因为 y=x 是两个反函数的对称轴,无论是直线还是曲线,只要沿 y=x 翻折一下,就变成了那线的反函数。自从它们出现后,他们使这个世界的线条数量增加了一倍,然而它们却很奇怪:它们总与那些与它们成反函数的线敌对。

y=3x+1 的反函数是 y=x/3-1/3 ,由于 y=x/3-1/3 与正弦海拟合度更高——就是与海更贴近,这条线上的点开始诋毁我们,说我们根本管理不好正弦海。投票选举后,其他的线竟然纷纷将票投给了 y=x/3-1/3 ,于是,它理所应当地开始管理那片海。唉,那些点总是轮流管理,兴风作浪,搞得船都不敢航行了。现在,每次有学生过来旅行,海面就波涛汹涌……

“你们学生可能认为这海不美,我却不这样想,看厌烦了,久而久之就慢慢喜爱起来。你看,那一个又一个波浪,延伸到 x 轴无穷远的两端。我曾经梦想着自己变一条船,慢慢漂流到那个传说中的世界,可是现实往往残酷啊。虽然这是个抽象的世界,不过也有很多让我遗憾的地方……”

“是啊!”我被导游的话深深打动了。

我们沉默了一会儿,“那些点太调皮了,竟然把你用来回去的黑洞送到了无限高的地方,”导游深深叹了口气,“你只能被困在这个世界里了,但是我知道你想回到现实。”

我才想起这是梦中的世界,我无助地挥舞着双臂,却始终找不到梦境的出口。

“我们必须找到无穷大。”我说。

“无穷大在我们这里是个传说,还没有人来过无穷大的地方。”导游回答,“除非你把无限用有限的式子表达出来……”

我突然灵机一动,“对!老师好像教过我们一种等比数列!无穷项加起来是一个有限的数字!”

我让导游拿出一大堆分数线、一大堆加号和一大堆1,又拿出了好多数字,开始组装成一个又一个分数:1/2 ,1/4 ,1/8 ,1/16 ……

“我相信,只要我们够快,这个世界应该能理解我们的意思!”

还真被我猜中了,在加到 1/1024 的时候,那个式子突然明白了什么。它先是卡了一下,随后快速地收缩,变成了这么一个玩意儿:



我将无穷大摘了下来。

“这是什么符号?”导游惊奇地看着那个像 E 的东西,“x 竟然在下面!”

“这是求和符号 Sigma ,”我说,“就是 1/2 的 1 次方 + 1/2 的 2 次方,一直加到无穷次方。”

“答案是 1 !”导游十分惊奇。

我复制了两份 ∞ ,将原来的 ∞ 放了回去,那式子继续收缩,果然变成了 1 。

“我们把坐标变成(π/2,∞)吧。”我说。

这是无穷大的世界,没有函数线条,只有一条孤零零的 y 轴和无尽的夜空。

那个让我离开这个世界的黑洞果然在这里。

“跟我一起走?”我问。

“不行,我是这个世界的,没用的。”导游说。

我正想离开,导游突然拦住我:“你……能不能满足我一个心愿?”

“什么?”我看着它。

“我想看看三维的海。”它说。

十几年过去了。

我只记得为了完成一个梦境世界中一个点的梦想,开始发奋学习数学。也许我有数学天赋,也许我对数学产生了兴趣,我不仅将课堂上的东西全部搞懂了,还懂了好多好多其他的数学知识。后来,我成为了一名数学家,研究收敛数列和发散数列——我可不会忘记,那个数列上的 ∞ 竟然还救了我,让我回到了现实。

有空的时候,我就在电脑上建立一个三维坐标系,寻找三维世界中海浪的方程。

那天,大概是“日有所思,夜有所梦”吧,我本不指望再找到这个世界,可是我进入了梦乡,竟然又看到了熟悉的纯白天空。

“咦?你是谁?是数学老师吗?”导游已经更换了,变成了(4,1)。

“(2,7)呢?”

“啊,在那里!”

(2,7)似乎已经不认识我了,它疑惑地问我:“咦,你是谁?”

“十几年前那个高中生,长大了。快,来一个二重积分符号,再给我一些字母,按照纸上的拼就行。”我递给它一张纸。

(2,7)慢慢地将这些字母拼了起来,“这是什么方程?”

“三维世界的正弦海。”



“天哪!你怎么知道我渴望这玩意儿?”它高兴地要跳起来,“而且,我们这个世界也会大变样了!”

我拿出一个 sin 符号,作了点睛之笔。

眼前豁然开朗,二维世界好像在慢慢地膨胀起来,那二维的正弦海也开始慢慢变宽,看起来更加富有活力了。突然,那片海不再是线条,而真正变成了三维的水。

我与那些函数的倒影在海面上波光粼粼。

“这竟然是三维世界!”(2,7)兴奋地走来走去,探索着那个新的维度,“还有那片海!太美了!比我们二维世界的还要美!”

正弦海平静地如一面镜子,(2,7)飞快地造出一个弧,迫不及待地下水划船。看着这美好的一面,我心中暗暗地说:

“在数学世界里看现实的大海,还是挺美的。”

好玩的数学 2023-11-20 07:02 发表于江西

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