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楼主: 天山草

介 绍 复 斜 率 解 析 几 何

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发表于 2023-11-18 19:41 | 显示全部楼层
2007年参加国际几何自动推理会议的论文,欢迎下载提出宝贵意见。

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 楼主| 发表于 2023-11-18 22:28 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草 于 2023-11-19 09:57 编辑

说明一下,国内对复斜率几何最先深入研究的人,正是 denglongshan 先生。

① 基于复斜率的复平面解析几何(下简称复斜率几何),原创者是 denglongshan 先生。
② 复斜率几何是以计算软件 mathematica 为平台,属于机器证明的范畴,因此要了解这个方法,必须对这个计算软件有一定基础。
③ 中学生千万不要学习这个复斜率几何,因为机器证明不是高考大纲范围。你学了也是丝毫没用。这个东西目前算是休闲娱乐数学,最适合退休老年人玩一玩。我估计了解复斜率几何的人全国也不超过10个人,推广很困难。
④ 下面是本人最近一年来总结的复斜率几何大部分内容。但是还不算是入门的内容。
⑤ 更简单的入门资料,见本帖。
⑥ 国内目前有几种更高级的机器证明软件,但尚属于研究者自己的秘密成果,他们不会公开发表,也都没有变成通用的几何商业软件,不像 mathematica 之类那样的成熟商业软件,全世界都在用。
⑦ 在复平面上做解析几何题,不止复斜率一种方法。而复斜率法可能是其中最简单易懂的。


复斜率概念介绍:
http://kuing.infinityfreeapp.com ... &extra=page%3D1
或者 http://www.mathchina.com/bbs/for ... &extra=page%3D1

复平面上解析几何的部分公式:
http://kuing.infinityfreeapp.com ... amp;extra=#pid57113

复平面上解析几何构图法例子:
http://kuing.infinityfreeapp.com ... hread&tid=10523

借助 mathematica 在复平面上用解析几何方法作几何题示例(1)
http://kuing.infinityfreeapp.com ... hread&tid=10399

借助 mathematica 在复平面上用解析几何方法作几何题示例(2)
http://kuing.infinityfreeapp.com ... &extra=page%3D1

借助 mathematica 在复平面上用解析几何方法作几何题示例(3)
http://kuing.infinityfreeapp.com ... hread&tid=11171

借助 mathematica 在复平面上用解析几何方法作几何题示例(4)
http://kuing.infinityfreeapp.com ... p;extra=&page=1
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 楼主| 发表于 2023-11-19 10:00 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草 于 2023-11-19 10:12 编辑

已知三角形ABC 三个顶点的复坐标,求其垂心复坐标,该公式推导如下:



在上面的证明中,引用了【已知一直线及直线外的一点,从该点向直线引垂线,垂足的复坐标公式】,这个公式的证明见本帖 4# 。
本帖的程序,其实就是一个借助 mathematica 计算软件用【复斜率解析几何】知识做题的例子。


程序代码:

  1. Clear["Global`*"];(*由三角形的三个顶点求垂心:*)
  2. k[a_, b_] := (a - b)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\));  (*复斜率定义*)
  3. Foot[p_, x_, y_] := ( \!\(\*OverscriptBox[\(x\), \(_\)]\) y - x \!\(\*OverscriptBox[\(y\), \(_\)]\) + (x - y) \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\) + (\!\(\*OverscriptBox[\(x\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(y\), \(_\)]\)) p)/(2 (\!\(\*OverscriptBox[\(x\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(y\), \(_\)]\)));  (* 从P点向直线XY引垂线,垂足的复坐标 *)
  4. \!\(\*OverscriptBox[\(Foot\), \(_\)]\)[p_, x_, y_] := (x \!\(\*OverscriptBox[\(y\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(x\), \(_\)]\) y + (\!\(\*OverscriptBox[\(x\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(y\), \(_\)]\)) p + (x - y) \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\))/(2 (x - y));  
  5. a1 = Simplify@Foot[a, b, c]; \!\(\*OverscriptBox[\(a1\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(Foot\), \(_\)]\)[a, b, c];(*从顶点A向BC边引垂线,垂足为A1*)
  6. b1 = Simplify@Foot[b, a, c]; \!\(\*OverscriptBox[\(b1\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(Foot\), \(_\)]\)[b, a, c];(*从顶点B向AC边引垂线,垂足为B1*)
  7. Simplify@Factor@Solve[{k[a, a1] == k[a, h], k[b, b1] == k[b, h]}, {h, \!\(\*OverscriptBox[\(h\), \(_\)]\)}](*求AA1与BB1的交点,即是垂心*)
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垂心公式不难手工计算  发表于 2023-11-20 19:27
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发表于 2023-11-20 11:04 | 显示全部楼层
关于复斜率还是有点有趣的性质。不过强行运用解析几何方法,使用软件辅助计算,引用一句几何名家的话,叫作“磨坊中坐标机器的轧轧声。”

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不用解析几何和软件辅助计算,如何对付比较复杂的问题?  发表于 2023-11-20 19:42
哪个名家?与解析几何有区别,也有相同之处,如果不用软件,简单的问题容易解决,比如楼主前页推导的基本公式,比较复杂的案例手工计算费力。  发表于 2023-11-20 19:10
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发表于 2023-11-20 19:26 | 显示全部楼层
天山草 发表于 2023-11-18 14:28
说明一下,国内对复斜率几何最先深入研究的人,正是 denglongshan 先生。

① 基于复斜率的复平面解析几 ...

“中学生千万不要学习这个复斜率几何,因为机器证明不是高考大纲范围。你学了也是丝毫没用。”

谢谢老朋友推广,这句有待商榷。60年代初,老一辈数学家华罗庚等编了一套中学生课外书,正式收到其中一本《复数与几何》启发,才提出向量商和复斜率概念,至于谁最早提出,无法考证。
   掌握这一概念,至少对于扩大知识面,非常有利,另外,对于一些竞赛题,比较实用,不过,需要补充定义和引理。
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发表于 2023-11-20 19:41 | 显示全部楼层

谢谢老师,那是三十多年前写的,由于只是业余,水平有限,是需要好好学习,限于水平,读起来很多不懂。我所定义的共轭导数,想达到与复斜率对应的效果,能力有限 ,但是可能还是有价值,因为涉及到常数如何求共轭导数,涉及到分母为0的问题。
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发表于 2023-11-20 20:01 | 显示全部楼层

吴文俊给出了力学方法证明,选自《力学在几何中的应用》,他指出,几何方法比较难证明,用复斜率显然不难。
    向中国数学会教育分会投稿,被拒绝,目前在叶军工作站发表,https://mp.weixin.qq.com/s/hjeB1ssnVw_c0EwO0qnvhg
欢迎各位提出宝贵意见。
关于向量商讨论参考:
http://www.mathchina.com/bbs/for ... =%CF%F2%C1%BF%C9%CC

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发表于 2023-11-21 11:20 | 显示全部楼层
“磨坊中坐标机器的轧轧声。”这句话是“斯坦纳”说的,原话可能不是一模一样,但意思是不会错的。

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赞一下!当那天所有的几何题都在机器轧轧声中三下五除2地解决了,几何学也就死了。  发表于 2023-11-23 14:34
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 楼主| 发表于 2023-11-22 16:30 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草 于 2023-11-22 16:43 编辑
ccmmjj 发表于 2023-11-21 11:20
“磨坊中坐标机器的轧轧声。”这句话是“斯坦纳”说的,原话可能不是一模一样,但意思是不会错的。




斯坦纳那个时代离现在多少年了?他那个时代完全不知道现代计算机是什么东西。用计算机证明四色定理,当时也受到许多数学家的不齿。但是这些都是逆时代潮流的思想。现在人工智能、智能机器人都在蓬勃发展,这就好比打现代战争,过去需要先练好身体,学会刀叉剑戟等十八般武艺,才敢上战场。从实用性来看,真不如学会开枪开炮省力气。100多年前的数学课本中有手工开平方、手工开立方的内容,小学生还要学会打算盘。现在这些东西都不用学了。这都得归功于计算器、计算机的发明。

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