BC=6，BD⊥CD，∠CBD=30°，AB=AC，AB⊥AC，M,N∈BD,CD，∠MAN=45°，求 ΔDMN 周长

jiaohuaxian2010

关于几何题怎样设未知数的疑惑




请教一下上图中第2题的解法，第一张图是讲解者画的解题思路示意图，第二张图是我根据讲解者的思路依样写出的解题过程。但是我对讲解者为什么要这样设x和y却有非常大的疑惑，第一是为什么一定要设KB为x，BM为y了，难道做题到这里时，完全凭感觉或者是以往的经验，我感觉自己没触摸到这个问题规律。第二是既然设了两个未知数，那么应该是能列出关于x和y的至少两个方程才解得出来吧(两个未知数至少需要两个方程才能解得出来)。

结果完全没想到，讲解者直接就这样带着用两个未知数表示的三条边，直接去相加，结果还正好消掉了x和y，这难道是一种巧合？假如ND这条边不等于3-x，等于3+x，那是不是这个周长的答案里边就会带着两个消不掉的x了。总之我就是感觉没有触摸到设这种未知数的规律，感觉讲解者也不是随便设的，但是也找不到其中的规律，请教一下这里的老师，先谢过了。

天山草

第二题中，M、N 的位置是变量，MN、 MD、ND 的长度都随 M、N 的位置而变化，但是△DMN 的周长MN + MD + ND = (x + y) + (3 \(\sqrt{3}\) - y) + (3 - x) =\(3+3\sqrt{3}\) 是个不变量。
因此虽然设了两个未知数 x 和 y，不一定非把它们的值解出来不可。
至于周长是个不变量是不是巧合？不是巧合，这完全是出题者设计出来的！因此做题者在审题时，就应该知道所求周长与 M、N 的位置无关！ 如果题目是个填空题或选择题，并不要求写出具体解法，就可以采用“投机”的方法选择 M、N 的位置为最容易计算的情况而直接看出答案。见下图：

由 A 作 BC 的垂线交 BD 于 M，此时 N 点恰好与 C 点重合。这时 M、N 的位置完全符合题目的要求。
由于 MC = MB，所以这时△DMN 的周长即是 BD+CD =\( 3+3\sqrt{3}\)。
你问一下老师，看看这种投机的做法扣不扣分？

luyuanhong

楼上 天山草 有点“投机”的解答很巧妙！已收藏。

下面是一种既不用“投机”、也不用另设未知数 x,y 的解法：

波斯猫猫

题：BC=6，BD⊥CD，∠CBD=30°，AB=AC，AB⊥AC，M,N∈BD,CD，∠MAN=45°，求 ΔDMN 周长。

解析法：设D（0，0），B（3√3，0），C（0，3），由条件易算得A（a，a），其中2a＝3＋3√3。

设AN的斜率为k，则由条件有AM的斜率为（k＋1）/（1-k）。

故AN：y-a＝k（×-a），AM：y-a＝（k＋1）（×-a）/（1-k）。

从而DN＝y＝a（1-k），DM＝x＝2ak/（k＋1）。

将上述x和y的值代入下式得△DMN的周长＝x＋y＋√（x^2＋y^2）＝2a＝3＋3√3。

jiaohuaxian2010

天山草 发表于 2023-11-6 14:31
第二题中，M、N 的位置是变量，MN、 MD、ND 的长度都随 M、N 的位置而变化，但是△DMN 的周长MN + MD + ND  ...

先谢过天山草老师的精心且贴心的回复，感激之意无以言表。但不知道是不是我能力有限，我仍有两个疑问，第一是三角形MDN的周长是个固定值，这个结论本身是不是就需要证明哦？

第二是您说的那句“因此虽然设了两个未知数 x 和 y，不一定非把它们的值解出来不可。”这句话前面尽管您给了理由，但我还是不太懂，为什么就可以不把他们的值都解出来？依据是什么？

很期盼天山草老师，能就我这两个问题继续解答下。因为如果我是一个初中生，在中考时碰上这道题，我又要考虑周长是不是定值，又要能提前考虑到未知数不需要解出来。我想问，这究竟是我的水平有限，还是这种解法太具前瞻性，不适合初中数学考试了？

天山草

jiaohuaxian2010 发表于 2023-11-8 14:35
先谢过天山草老师的精心且贴心的回复，感激之意无以言表。但不知道是不是我能力有限，我仍有两个疑问，第 ...

to 楼主：周长是个固定值这一点，当做完题目后得到周长是一个确定的数值，就证明了周长是个不变量。在做题之前，审题时也能发觉这一点，因为题目没有给出 M、N 的具体位置，而要求你求周长，如果周长与 M、N 的位置有关，他的题目不会这样出，而是会另外增加一个参数 θ=∠BAM，要求你算出周长与 θ 角的关系。
第二个问题，设了两个未知数 x 和 y，如果非要把它们的值解出来，那就要先假定 M、N 的具体位置，这是很不明智的，这样做的结果，即使你最终算对了，也可能被老师扣分！因为你只假设了其中一种情况，当 M、N 的位置改变时，周长会不会保持不变？你没有证明。
数学家们对不变量问题很感兴趣，你以后做题多了，就会理解这一类问题。

jiaohuaxian2010

天山草 发表于 2023-11-8 09:58
to 楼主：周长是个固定值这一点，当做完题目后得到周长是一个确定的数值，就证明了周长是个不变量。在做 ...

先在此谢过来回复的三位老师。关于第一个周长是定值的问题，天山草老师的意思我大约是懂了一些。其实我觉得就算MN的位置不是固定的，也不能就说明它的周长是固定的，也可能最后它的周长会用一个什么几倍的KB或者几倍的BM表示出来，这就不是一个固定的数值了。当然也可能就是我这类题做得太少，没能熟悉这个套路。

我看了管理员老师给的解法，本质上和设两个未知数的解法是相同的。所以重点还是第二个问题，为什么一定要使用设两个未知数的方法来解这个题。因为M和N不是一个固定数值，以后审题时我就能发现这个x和y是不能解出来的，于是我目前得出的结论就是， 这类求长度的题，一般就找有相等或其它数量关系的线段来表示它，最后结果一般是两种情况，一是完全能消去线段的名字，结果是一个固定数值；二就是最后结果会带着线段的名字，比如几倍KB什么的。这类题的解法套路，不知道天山草和管理员老师认为我总结得如何？