a(1)=1，a(n+1)=a(n)+1／a(n)（n=1,2,…），求 b(n)=[a(n)] 和 ∑(k=1,n)b(k)

fogking

设\(a_1=1{,}\ a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}\ \left( n=1{,}\ 2{,}\ \ldots\right)\)，\(b_n\)是\(a_n\)的整数部分。

是否可以找到\(b_n\)的通项公式和\(\sum_{k=1}^nb_k\)？

王守恩

a(n)分子=1, 2, 5, 29, 941, 969581, 1014556267661, 1099331737522548368039021,
1280590510388959061548230114212510564911731118541,
172699903806694372485750863858638650428153927937609103408648......

a(n)分母=1, 1, 2, 10, 290, 272890, 264588959090, 268440386798659418988490,
295105036840595214385430531020664149472669868290,
377908709746050392481071609609580527436122569261424131112048......

详见OEIS——A073833       

1. 分子。Numerator[NestList[# + 1/# &, 1, 9]]
   
2. 分母。Denominator[NestList[# + 1/# &, 1, 9]]
   
3. b(n)。Table[Floor[Numerator[NestList[# + 1/# &, 1, n]]/
   
4. Denominator[NestList[# + 1/# &, 1, n]]], {n, 28, 28}]

复制代码

b(n)={1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, ......}

期待高手出手！谢谢！