简述代数学的发展历程

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简述代数学的发展历程

来源：科学演绎法

代数是一个较为基础的数学分支。它的研究对象有许多，诸如数、数量、代数式、关系、方程理论、代数结构等等，就是说不仅是数字，还有各种抽象化的结构。例如整数集作为一个带有加法、乘法和序关系的集合就是一个代数结构。在其中我们只关心各种关系及其性质，而对于“数本身是甚么”这样的问题并不关心。

这篇文章中一起快速回顾代数发展历程中的那些重要时刻：

● 公元前 1800 年左右，旧巴比伦斯特拉斯堡泥板书中记述其寻找著二次椭圆方程的解法。

● 公元前 1600 年左右，普林顿 322 号泥板书中记述了以巴比伦楔形文字写成的勾股数列表。



● 公元前 800 年左右，印度数学家包德哈亚那在其著作包德哈尔那绳法经中以代数方法找到了勾股数，给出了线性方程和如  与  等形式之二次方程的几何解法，且找出了两组丢番图方程组的正整数解。

● 公元前 600 年左右，印度数学家阿帕斯檀跋在其著作'阿帕斯檀跋绳法经'中给出了一次方程的一般解法和使用多达五个未知数的丢番图方程组。

● 公元前 300 年左右，在几何原本的第二卷里，欧几里德给出了有正实数根之二次方程的解法，使用尺规作图的几何方法。此一方法是基于几何学中的毕达哥拉斯学派。



● 公元前 300 年左右，倍立方的几何解法被提了出来。现已知道此问题无法使用尺规作图求解。

● 公元前 100 年左右，中国数学书《九章算术》中处理了代数方程的问题，其包括用试位法解线性方程、二次方程的几何解法及用相当于现今所用之消元法来解线性方程组。还应用一次内插法。

● 公元前 100 年左右，写于古印度的巴赫沙利手稿中使用了以字母和其他符号写成的代数标记法，且包含有三次与四次方程，多达五个未知道的线性方程之代数解，二次方程的一般代数公式，以及不定二次方程与方程组的解法。



● 公元 150 年左右，希腊化埃及数学家希罗（又称海伦）在其三卷数学著作中论述了代数方程。

● 200 年左右，希腊化巴比伦数学人丢番图，他居住于埃及且常被认为是“代数之父”，写有一本著名的算术，此书为论述代数方程的解法及数论之作。


▲ 丢番与图著的 Arithmetica 1621 年版的封面

● 不晚于 473 年，《孙子算经》提出中国剩余定理。



● 499 年，印度数学家阿耶波多在其所著之阿耶波多书里以和现代相同的方法求得了线性方程的自然数解，描述不定线性方程的一般整数解，给出不定线性方程组的整数解，而描述了微分方程。

● 600 年刘焯编制《皇极历》曾用等间距内插法。

● 625 年左右，中国数学家王孝通在《缉古算经》找出了三次方程的数值解。

● 628 年，印度数学家婆罗摩笈多在其所著之梵天斯普塔释哈塔中，介绍了用来解不定二次方程的宇宙方法，且给出了解线性方程和二次方程的规则。他发现二次方程有两个根，包括负数和无理数根。



● 724 年，僧一行用不等间距内插法计算《大衍历》。

● 820 年，代数（algebra）导源于一个运算——指的是将一项从等式的一侧移动到另一侧的操作，其描述于波斯数学家花拉子米所著之完成和平衡计算法概要中对于线性方程与二次方程系统性的求解方法。花拉子米常被认为是“代数之父”，其大多数的成果简化后会被收录在书籍之中，且成为现在代数所用的许多方法之一。



● 850 年左右，波斯数学家 al-Mahani 相信可以将如加倍立方体问题等几何问题变成代数上的问题。

● 850 年左右，印度数学家摩诃吠罗解出了许多二次、三次、四次、五次及更高次方程，以及不定二次、三次和更高次方程的解。

● 990 年左右，波斯阿尔卡拉吉在其所著之 al-Fakhri 中更进一步地以扩展花拉子米的方法论来发展代数，加入了未知数的整数次方及整数开方。他将代数的几何运算以现代的算术运算代替，且定义了单项式 x 、x^2 、x^3 、… 和 1/x 、1/x^2 、1/x^3 、… 等并给出上述任两个相乘的规则。

● 1050 年左右，中国数学家贾宪用贾宪三角形找到了多项式方程的数值解。



● 1072 年，波斯数学家欧玛尔·海亚姆发展出来代数几何，且在 Treatise on Demonstration of Problems of Algebra 中给出了可以以圆锥曲线相交来得到一般几何解之三次方程的完整分类。

● 1090 年左右，北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中给出高阶等差级数的和。



● 1114 年，印度数学家婆什迦罗在其所著之代数学'中，认知到一正数会有正负两个平方根，且解出一个以上未知数的二次方程、许多三次、四次及更高次多项式方程、佩尔方程、一般的不定二次方程，以及不定三次、四次及更高次方程。

● 1150 年，婆什迦拉在其所著之 Siddhanta Shiromani 中解出了微分方程。

● 1202 年，代数传到了欧洲，斐波那契所著的计算之书对此有很大的贡献。



● 1247 年南宋数学家秦九韶在《数书九章》中用秦九韶算法（即“霍纳法算法”）解一元高次方程。

● 1248 年，金朝数学家李冶的《测圆海镜》利用天元术将大量几何问题化为一元多项式方程，是一部几何代数化的代表作。

● 1300 年左右，中国数学家朱世杰处理了多项式代数，发明四元术解答了多达四个未知数的多项式方程组，发明非线性多元方程的消元法，将相关多项式进行乘法、加法和减法运算，逐步消元，将多元非线性方程组化为单个未知数的高次多项式方程；并以数值解出了 288 个四次、五次、六次、七次、八次、九次、十次、十一次、十二次、和十四次次多项式方程。朱世杰发展了垛积术，给出多种高阶等差级数求和公式。



● 1400 年左右，印度数学家玛达瓦找到了以重复来求超越方程的解法，求非线性方程解的叠代法及微分方程的解法。

● 1515 年，费罗求得了没有两次项之三次方程的解。

● 1535 年，塔尔塔利亚求得了没有一次项之三次方程的解。

● 1545 年，卡尔达诺出版了大术一书，书中给出了各种三次方程的解法和其学生费拉里对一特定四次方程的解法。



● 1572 年，拉斐尔·邦贝利认知到三次方程中的复根并改进了当时流行的符号。

● 1591 年，弗朗索瓦·韦达出版了分析方法入门一书，书中发展出了更为良好的符号标记，在未知数不同的次方上。并且使用母音来表示未知数而子音则用来表示常数。



● 1631 年，托马斯·哈里奥特在其死后的出版品中使用了指数符号且首先以符号来表示“大于”和“小于”。

● 1682 年，莱布尼茨发展出他称做一般性特征（characteristica generalis）之形式规则的符号操作概念。



● 1683 年，日本数学家关孝和在其所著之 Method of solving the dissimulated problems 中发明了行列式、判别式及伯努利数。



● 1685 年，关孝和解出了三次方程的通解，及一些四次与五次方程的解。

● 1693 年，莱布尼茨使用矩阵和行列式解出了线性方程组的解。

● 1750 年，加布里尔·克拉默在其所著之 Introduction to the analysis of algebraic curves 中描述了克莱姆法则且研究了代数曲线、矩阵和行列式。

● 1830 年，伽罗瓦理论在埃瓦里斯特·伽罗瓦对抽象代数的工作中得到发展。

中国科学院数学与系统科学研究院 2023-06-15 09:03 发表于北京