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1978年有一位老师使用解定积分应用问题时,“分割、取近似值”的步骤,计算球面面积时,得到一个错误。为此1985年,我写出了界定积分应用问题的严格放方法。现在把定积分的定义改写如下。
定义12: 函数f(x)的连续性理想原函数S(x)在任意闭区间[a,b]上的增量S(b)- S(a)叫做f(x)在闭区间[a,b]上的定积分。
定理2(原函数的存在定理的新证法),设函数 在[a,b]区间上连续且恒大于0,则对这个区间上任意实数x,从x=a 到x=x 的小曲边梯形面积也是一个现实数量,这个现实数量是x的一个现实数量函数,记这个函数为S(x),根据导数的极限计算法则、以及连续函数在任意闭区间上存在最大值最小值的定理的性质,可以得到S(x)的导函数就是: 。于是S(x)就是 的一个原函数。且所求的大曲边梯形的面积就是这个原函数在[a,b]区间上的增量S(b)-S(a)。上述讨论可以推广到函数 在[a,b]区间上连续的非大于0的情形。于是得到如下原函数存在定理:若函数 在[a,b]区间上连续且只有有限多个零点,则原函数存在。这个定理的证明,不仅不需要使用烦琐的黎曼和的许多研究,而且給出了原函数的现实数量性质的意义。 |
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