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实数域是具有最小上界性的,含有理数域的阿基米德有序域.
估计APB先生并不熟悉实数域及其构造,我们也知道他并不认可
自然数的Peano公理.这个帖子的目的,是要说明在标准分析的
前述认知下,\(0.\dot{0}1:=\small\displaystyle\lim_{n\to\infty}\small\frac{1}{10^n}=0\)
所谓\(\mathbb{R}\) 具有阿基米德性,是指对任意正数 \(a\in\mathbb{R}\), 任意\(x\in\mathbb{R}\), 存在
正整数 \(n\in\mathbb{N}\),使得 \(na\ge x\). 这就是说,任何距离都可以被不为零
的长度\(a\)有限(自然数\(n\)有限)丈量.
若\(0.\dot{0}1>0,\) 据\(\mathbb{R}\)的阿基米德性知道有\(n\in\mathbb{N}\)使\(n\times 0.\dot{0}1\ge 1\)即
\(0.\dot{0}1>\frac{1}{\large n}.\) 但由定义知\(0.\dot{0}1< \frac{1}{\large n}\) 对一切\(n\in\mathbb{N}^+\)成立.\(\therefore 0.\dot{0}1=0.\) |
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