从数字 1~30 中任取 7 次，求取到 7 个数字之和恰好等于 100 的概率

xuz

思考了这个问题，不知如何计算。假设有30个球，每个球标有1到30的数字，
从中任取7个球，请问这7个球数字之和（数字加起）为100的概率是多少？
能给个思路也是好的。

luyuanhong

题  从数字 1~30 中任取 7 次，求取到 7 个数字之和恰好等于 100 的概率。

解  每次任取一个数，有 30 种不同的结果，取 7 次，共有 30^7 =21870000000 种结果。

     要计算在这些结果中，有几种是数字之和恰好等于 100 的结果，可以这样做：

    建立一个多项式： x + x^2 + x^3 + x^4 + … + x^30 ，然后求它的 7 次方，并展开：

                                      (x + x^2 + x^3 + x^4 + … + x^30)^7

  = x^7 + 7x^8 + 28x^9 + 84x^10 + 210x^11 + … + 349844095x^100 + … + 7x^209 + x^210 。

   在其中找到 x^100 这一项的系数 349844095 ，这就是 7 个数字之和恰好等于 100 的结果的种数。

  这个结果数除以总的结果数，就得到 7 个数字之和恰好等于 100 的概率

  349844095／21870000000 = 69979819／4374000000 = 0.01599904412437128 ≈ 1.6 % 。
   

Ysu2008

30个球，任意取7个，是无放回抽球。
30取7，取法总数为 \(C_{30}^7=2035800\)，其中和等于100的有35932个，所以概率\(=\frac{35932}{2035800}\approx0.01765006385696041\)

35932 怎么来的呢？掰起手指头数的。

lihp2020

我还是 认为无放回抽球  但是 不知道 怎么计算35932

Ysu2008

无所不能的 ChatGPT 的回答，能想到用动态规划求解，真聪明。只可惜聪明过了头，解错了。

xuz

肯定是 不无放回抽球 ，就和双色球号码样， 但是不知道 怎么计算35932。

luyuanhong

下面是一个简单的程序，运行结果就得到 35932 ：

var  i,j,k,l,m,n,p,s : int;
begin                    
  s:=0;
  for i:=1 to 30 do
    for j:=i+1 to 30 do
      for k:=j+1 to 30 do
        for l:=k+1 to 30 do
          for m:=l+1 to 30 do
            for n:=m+1 to 30 do
              for p:=n+1 to 30 do
                if (i+j+k+l+m+n+p=100) then s:=s+1;
  writeln(s);
  readln;
end.

Treenewbee

1. Length@Select[Subsets[Range@30, {7}], Total[#] == 100 &]

复制代码

35932

xuz

用计算机程算出来是可以，但没有理论上的算法，我有这个
思路，但是还是算不出。

Treenewbee

xuz 发表于 2023-6-4 10:18
用计算机程算出来是可以，但没有理论上的算法，我有这个
思路，但是还是算不出。

可以手工计算，不过和为100计算量还是有点大了