已知 0≤x≤1 ，证明不等式 cosx＞sinx√(1-x^2)

abc666zs

一道三角函数证明题

这是我在化简某个式子而得到的结论，但凭我的水平无法证出，恳求有老师能有高中层面的巧妙证法。

已知0≤x≤1，求证:cosx＞sin根号下1-x^2

Future_maths

luyuanhong

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波斯猫猫

题：已知 0≤x≤1 ，证明不等式 cosx＞sin√(1-x^2)。

思路：当0≤θ≤π/2 时，√2sin√(θ+π/4)≤√2＜π/2，即sinθ+cosθ＜π/2，或0≤cosθ＜π/2-sinθ＜1，

故，sin(cosθ)＜sin(π/2-sinθ)，即cos(sinθ)＞sin(cosθ)。

令sinθ=x，则cosθ=√(1-x^2)，得cosx＞sin√(1-x^2)。

abc666zs

Future_maths 发表于 2023-5-2 08:45

感谢老师的解答！

abc666zs

波斯猫猫 发表于 2023-5-2 13:07
题：已知 0≤x≤1 ，证明不等式 cosx＞sin√(1-x^2)。

思路：当0≤θ≤π/2 时，√2sin√(θ+π/4)≤√2 ...

感谢老师的解答！

luyuanhong

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liangchuxu

使用反证法来凑热闹

abc666zs

liangchuxu 发表于 2023-5-14 18:42
使用反证法来凑热闹

谢谢老师!

luyuanhong

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