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本帖最后由 jzkyllcjl 于 2023-5-9 01:25 编辑
文献[3]“§ 1.2 自然数的序数理论”使用皮亚诺（G..Peano）提出的自然数继数公理建立自然数序列的做法是应当的，但他们这一节对这个序列的叙述还应用了ZFC形式语言集合论的“无穷集合N存在公理”，对于这个公理，需要研究“无穷集合N 如何才能存在的问题及其元素个数的问题”。具体讲来，对于现行教科书称N=｛0，1，2，3，……｝为自然数无穷集合的论述，需要根据恩格斯在《反杜林论》第一编“五、自然哲学、时间和空间”一节的，48页讲到：“杜林先生，永远做不到没有矛盾地思考现实的无限性。无限性是一个矛盾，而且充满着矛盾。无限纯粹是由有限组成的，这已经是矛盾，可是事情就是这样”的说法，提出无限来源于有穷集合的本质及其性质。首先，根据自然数的十进计数法可以提出如下的三个以有穷集合为项的无穷序列 ：
{0，1}，{0，1，2}，……，{0，1，2，……，n},…… （1）
或{0，1，2，……，9}，{0，1，2，……，19}，……，{0，1，2，……，10n-1}, ……(2)
或{0，1}，{0，1，2，3，4},……，{0，1，2，……， },……（3）
然后使用广义极限的方法，得到这三个无穷序列的趋向性极限都是想象性的元素个数为+∞的无穷集合。式中符号+∞是华东师大《数学分析》上册1980年版80 页无穷大量研究中讲的“非正常（或称广义）极限[4] 性质的“非正常实数”。序列（1）中各个集合的元素个数为无穷数列{n+1}，序列（2）中各个集合的元素个数为无穷数列{10n}，序列（3）中各个集合的元素个数为无穷数列 ，虽然这三元素个数序列的广义极限都是+∞，但根据菲赫金哥尔茨《微积分学教程》第一卷一分册整序变量的计算不定式, 与 的定值法则，都需要使用∞与0的取极限之前的变数计算其不定式的极限值，因此上述三个+∞ 表示的多少是不相同的：（2）式表示的比（1）式表示的元素个数多，（3）式表示的元素个数比（1）（2）式都多。这说明：文献[5]（张锦文编著. 《集合论与连续统假设浅说》）34-38页提出了“把N记作ω”，“ω是一个序数，而且是一个最小序数”，“把ω记作ω0”，然后把ω0 记作 ，并称它为第一个无穷基数。与前述自然数集合的三个构造过程来看，康托尔把无穷集合元素个数看做定数，提出上述无穷序数、无穷基数，自然数集合元素个数为 的做法是违背事实的。为此，需要提出如下的自然数集合的以实践事实为根据的定义。
定义2：元素个数为有限理想自然数的正常集合叫做有穷自然数集合；以元素个数无限增多的有穷自然数集合为项的无穷序列的元素个数序列的趋向于+∞：包含所有自然数的元素个数为非正常实数+∞的自然数集合叫做：元素个数为非正常实数+∞的含有所有自然数的，不可构造完毕的想象性质的、无穷性质的、非正常自然数集合；依照惯例，可以记作：N=｛0，1，2，3，……｝。
关于笔者这个定义中的“不可构造完毕的想象性质”是有人反对的，他们认为：这个性质不成立，但笔者认为“这个性质是无穷集合元素个数可以无限增多的必然结果，因为无限增多是永远无法完成的做作，所以必然有无穷集合不能构造完毕的性质”；进一步还应当知道：元素无限多的无限延续的操作需要有无限的时间与无限的空间，因此在任何有限时间与空间内不可被完成，对此有人反对说“数学理论不需要时间、空间”，但事实上，数学理论中无穷技术的的无限次加法、无穷多次判断的无穷次操作都需要有无穷多实践与空间。有人认为：“在笔者这个定义之下，无穷集合只有有限个元素”，对此笔者认为：“无限与有限之间具有相互对立、相互依存的对立统一的关系”。
2.1.1，自然数的现实意义
关于自然数及其集合N的基本概念问题，余元希等学者编写的《初等代数研究》[3] 的第一章根据ZFC形式语言集合论进行了解说。 其中“§ 1.1 自然数的基数理论”是使用ZFC形式语言公理体系中空集存在与并集合公理定义自然数的，笔者认为：他使用一系列等式 =3，……一给出的自然数定义，不仅不存在无穷多空集供他使用，而且无穷次使用并集的操作无法完成。这样做成的自然数概念与自然数的实际应用意义不同（例如自然数表示一堆梨子的个数时，必须忽略各个梨子大小的差别），不便于实际应用；此外根据并集合概念中“某一元素出现多次与一次相同”的概念，可以说等式 =3左端表示的是空集，他不能等于右端的自然数3。 为此，笔者提出了如下的从实践出发的自然数定义及其说明。
定义1，空集这个术语，表示没有元素（或元素个数为0）的想象性集合；由确定个数的确定事物为元素组成的整体，而且整体不能作为集合元素的集合，叫做现实的正常集合。其中的术语“元素个数”具有忽略现实集合各个元素性质与大小差别的意义，元素个数多少的表达符号叫做理想自然数（在暂时不联系现实数量的纯粹数学研究中可以简称为自然数）。
这个定义下的现实正常集合需要用一篮子苹果、一家人、一班学生等实例进行说明：其中自然数（即元素个数的表达符号）是古代人创造的由0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个符号与十进记数法表示的数。由此出发，就有了形式逻辑下，需要的背熟自然数的加法、乘法的运算法则。自然数的表达符号及其运算法则就构成了现行的自然数的初步理论。但在自然数应用时，不能忘掉它们与现实数量的关系，例如; 虽然从纯理论上可以讲：理想自然数10比9大，但还需要知道“9个大苹果比十个小苹果分量大、养分多”。使用自然数表达线段长度时，需要知道：“线段长度具有测不准性，使用自然数表示两个线段毫米数的和时，需要进行误差分析”。
这个自然数概念的修改说明：自然数理论阐述时，需要使用毛泽东著《矛盾论》中说的“对立统一的法则是唯物辩证法的最根本的法则”、“一切事物中包含的矛盾方面的相互依赖和相互斗争，决定一切事物的生命，推动一切事物的发展。没有什么事物是不包含矛盾的，没有矛盾就没有世界”的论述。对自然数“既要说明它的理想性的纯数学理论的一面，又需要说明：它的实践应用的现实性一面，只有这样才能使它成为解决生产实际问题的的有用的自然数”。上述讨论也证实了毛泽东在《实践论》中说的“实践、认识，再实践、再认识，这种形式，循环往复以至无穷，而实践和认识之每一循环都比较地进到了高一级的程度”的论述是正确的。
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发表于 2023-4-12 16:21
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