正六边形 ABCDEF 面积 6，G,H,I 是 FA,BC,DE 的三分点，求 AI,CG,EH 围成正三角形面积

时空伴随者

时空伴随者

ccmmjj: 蓝=1.5阴，紫=阴，这是怎么来的，我没看出来，请解释一下。  发表于 2023-3-22 10:40
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一、先证明三点共线，消去绿；二、补紫，蓝紫形成完整的阴影，同时证明。

王守恩

2楼的图。

\(AB=3r,6=\frac{6*(3r)(3r)\sin(60)}{2}\Rightarrow r^2=\frac{4}{9\sqrt{3}}\)

\(\frac{KE}{\sin(60)}=\frac{3r}{\sin(a)}=\frac{9r}{\sin(60+a)},\frac{3r}{\sin(60)}=\frac{CJ}{\sin(a)}=\frac{JK}{\sin(60+a)}\)

\(正三角形面积=\frac{(KE-CJ-JK)^2\sin(60)}{2}=\frac{9}{7}\)

\(兼得恒等式:\frac{1}{\sin(a)}=\frac{2}{\sin(60-a)}=\frac{3}{\sin(60+a)}\)

ccmmjj

很高兴看到网友们的精彩解答，是时候给出我的做法了。
我采用的是一般方法，先计算出如图公式：

然后将原图连出正三角形ACE，然后通过梅尼劳斯定理计算出k值，代入即可。

这个方法是一般方法，当原题比值不等于1/2时仍是有效算法。

王守恩

接13楼。

\(\frac{小正三角形面积}{大正三角形面积}=\frac{\big(KE-CJ-JK\big)^2}{(9r)^2}=\frac{\big(\frac{3r\sin(60)}{\sin(a)}-\frac{3r\sin(a)}{\sin(60)}-\frac{3r\sin(60+a)}{\sin(60)}\big)^2}{(9r)^2}\)

\(小正三角形面积=\big(\frac{\sin(60)}{\sin(a)}-\frac{\sin(a)}{\sin(60)}-\frac{\sin(60+a)}{\sin(60)}\big)^2=\big(\frac{\sqrt{7}}{1}-\frac{1}{\sqrt{7}}-\frac{3}{\sqrt{7}}\big)^2=\frac{9}{7}\)

\(我们恒有:\frac{1}{\sin(a)}=\frac{2}{\sin(60-a)}=\frac{\sqrt{7}}{\sin(60)}=\frac{3}{\sin(60+a)}\)

王守恩

\(本题比值=\frac{1}{3},比值=\frac{1}{n}时，\)

\(\frac{小正三角形面积}{大正三角形面积}=\frac{\big(KE-CJ-JK\big)^2}{(n)^2}=\frac{\big(\frac{nr\sin(60)}{\sin(a)}-\frac{nr\sin(a)}{\sin(60)}-\frac{nr\sin(60+a)}{\sin(60)}\big)^2}{(n^2r)^2}\)

\(小正三角形面积=\big(\frac{\sqrt{3}}{\sin(a)}-\frac{\sin(a)}{n\sin(60)}-\frac{\sin(60+a)}{n\sin(60)}\big)^2=\frac{3n^2-6n+3}{6n^2+2}*6\ \ \ 其中:\tan(a)=n\sqrt{3}\)

得到一串数：9/7, 81/49, 36/19, 225/109, 81/37, 441/193, 144/61, 729/301, 225/91,

\(因为我们恒有:\)

\(\frac{1}{\sin(a)}=\frac{2}{\sin(60-a)}=\frac{\sqrt{07}}{\sin(60)}=\frac{3}{\sin(60+a)}\)
\(\frac{1}{\sin(a)}=\frac{2}{\sin(60-a)}=\frac{\sqrt{13}}{\sin(60)}=\frac{4}{\sin(60+a)}\)
\(\frac{1}{\sin(a)}=\frac{2}{\sin(60-a)}=\frac{\sqrt{21}}{\sin(60)}=\frac{5}{\sin(60+a)}\)
\(\frac{1}{\sin(a)}=\frac{2}{\sin(60-a)}=\frac{\sqrt{31}}{\sin(60)}=\frac{6}{\sin(60+a)}\)
\(\frac{1}{\sin(a)}=\frac{2}{\sin(60-a)}=\frac{\sqrt{43}}{\sin(60)}=\frac{7}{\sin(60+a)}\)
\(\frac{1}{\sin(a)}=\frac{2}{\sin(60-a)}=\frac{\sqrt{57}}{\sin(60)}=\frac{8}{\sin(60+a)}\)
\(\frac{1}{\sin(a)}=\frac{2}{\sin(60-a)}=\frac{\sqrt{73}}{\sin(60)}=\frac{9}{\sin(60+a)}\)

王守恩

相信你肯定可以，因为你专注, 执着，参考7楼，三角函数解几何题有绝对的优势。

\(\frac{1}{\sin(a)}=\frac{2}{\sin(90-a)}=\frac{\sqrt{5}}{\sin(90)}=\frac{2}{\sin(90+a)}\)
\(\frac{1}{\sin(a)}=\frac{2}{\sin(60-a)}=\frac{\sqrt{7}}{\sin(60)}=\frac{3}{\sin(60+a)}\)
\(\frac{1}{\sin(a)}=\frac{2}{\sin(45-a)}=\frac{\sqrt{5+2\sqrt{2}}}{\sin(45)}=\frac{2+\sqrt{2}}{\sin(45+a)}\)
\(\frac{1}{\sin(a)}=\frac{2}{\sin(36-a)}=\frac{\sqrt{6+\sqrt{5}}}{\sin(36)}=\frac{(5+\sqrt{5})/2}{\sin(36+a)}\)
\(\frac{1}{\sin(a)}=\frac{2}{\sin(30-a)}=\frac{\sqrt{5+2\sqrt{2}}}{\sin(30)}=\frac{2+\sqrt{3}}{\sin(30+a)}\)

时空伴随者

G、H、I是n分点时，\(阴影面积=\frac{3n^2-6n+3}{6n^2+2}\centerdot六边形面积\)

dodonaomikiki

很少见到东瀛题目！


吸纳各国之精华，夯实数学之中华，极好

王守恩

   小结一下。
一，3等分点(1楼的图):正六边形ABCDEF面积6,
   G,H,I 是FA,BC,DE的3等分点, 求 AI,CG,EH围成正三角形面积。

   \(AB=r,HC=r/3,6=\frac{6*r^2\sin(60)}{2}\Rightarrow r^2=\frac{4}{\sqrt{3}},CE^2=3r^2\)

   \(∠ECH=90,∠EHC=a,\tan(a)=3\sqrt{3}\)

   \(HE=\frac{CE}{\sin(a)},\frac{r/3}{\sin(60)}=\frac{KC}{\sin(a)}=\frac{KH}{\sin(60+a)}\)

   \(正三角形面积=\frac{(HE-KC-KH)^2\sin(60)}{2}=\frac{9}{7}\)

二，4等分点(1楼的图):正六边形ABCDEF面积6,
   G,H,I 是FA,BC,DE的4等分点, 求 AI,CG,EH围成正三角形面积。

   \(AB=r,HC=r/4,6=\frac{6*r^2\sin(60)}{2}\Rightarrow r^2=\frac{4}{\sqrt{3}},CE^2=3r^2\)

   \(∠ECH=90,∠EHC=a,\tan(a)=4\sqrt{3}\)

   \(HE=\frac{CE}{\sin(a)},\frac{r/4}{\sin(60)}=\frac{KC}{\sin(a)}=\frac{KH}{\sin(60+a)}\)

   \(正三角形面积=\frac{(HE-KC-KH)^2\sin(60)}{2}=\frac{81}{49}\)
    ......
三，n等分点(1楼的图):正六边形ABCDEF面积6,
   G,H,I 是FA,BC,DE的n等分点, 求 AI,CG,EH围成正三角形面积。

   \(AB=r,HC=r/n,6=\frac{6*r^2\sin(60)}{2}\Rightarrow r^2=\frac{4}{\sqrt{3}},CE^2=3r^2\)

   \(∠ECH=90,∠EHC=a,\tan(a)=n\sqrt{3}\)

   \(HE=\frac{CE}{\sin(a)},\frac{r/n}{\sin(60)}=\frac{KC}{\sin(a)}=\frac{KH}{\sin(60+a)}\)

   \(正三角形面积=\frac{(HE-KC-KH)^2\sin(60)}{2}\)得到这样一串数：

  9/7, 81/49, 36/19, 225/109, 81/37, 441/193, 144/61, 729/301, 225/91, 1089/433,...