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n 颗球随机地投向 m 个箱子,已知有 p0 的概率不投入任何箱子,求空箱子数的期望值

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发表于 2023-3-19 10:00 | 显示全部楼层 |阅读模式
丟球問題

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发表于 2023-3-19 17:50 | 显示全部楼层
任何一个箱子,在投掷一次后依然保持为空箱子,必发生了以下两种情况之一:
(1)未被选中,概率为\(1-\frac{1}{m}\)
(2)虽然被选中,但球没有丢进去,概率为\(\frac{1}{m}p_0\)

投掷一次后保持为空箱子的总概率为两者之和:\(1-\frac{1}{m}+\frac{p_0}{m}\)

投掷\(n\)次依然保持为空箱子的概率则为 \(p=\left( 1-\frac{1}{m}+\frac{p_0}{m}\right)^n\)

问题化为:取出一个空箱子的概率为上述\(p\),取出\(m\)个箱子,平均有多少个空箱子?
答案就是 \(mp=m\left( 1-\frac{1}{m}+\frac{p_0}{m}\right)^n\)
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发表于 2023-3-19 22:14 | 显示全部楼层


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