求助：在塞瓦定理中，如果塞瓦点在三角形外，该如何证明呢？

数学小白新

在网上找不到答案。最好是纯几何方法证明。谢谢！

天山草

用向量方法证明广义塞瓦定理（西瓦定理）

天山草

2009 年，为了方便梅涅劳斯定理的记忆，本人发了一个帖子叫【梅涅劳斯定理新解】，其实也可视为梅氏定理的推广。见网址http://www.mathchina.com/bbs/for ... 8%C0%ED%D0%C2%BD%E2

陆教授把这个推广的梅氏定理称为【完全四边形环游定理】，见网址http://www.mathchina.com/bbs/for ... 7%D3%CE%B6%A8%C0%ED

对于楼主的那个图形，是在完全四边形的基础上增加两条线，暂且称之为【广义完全四边形】。

本人发现，对于楼主的那个【广义完全四边形】，【环游定理】仍然成立。



上面右图很像一个风筝，是否也可称之为风筝四边形？

本帖下面证明了下面这些等式全都是成立的，当然还可以写出一些：



下面用复平面解析几何证明【广义完全四边形环游定理】成立。程序如下：



程序运行结果：

天山草

上面这些等式是如何写出来的？ 怎样保证这些等式不会写错呢？
这些等式都符合一个共同的规律，这个规律非常好记。图中有六条线段，有七个交点。把六条线段想象成六条公路，把七个交点想象成公路边的七座小城市。
    假定你在其中的一个城市居住。现在你从居住城市开车出发，按照走过三条公路周游包括自己城市在内的六个城市后（有一个城市没有去），再回到你的居住城市。游历路线可以有许多种，但必须遵守一个规律，就是车子每开上一条公路，必须游历完位于这条公路上的三个城市（可以再次到达某个城市，但开车经过的城市不算游历过）。
    比如你在城市 A 居住，可以选择 A→F→B→D→C→E→A的路线。这样就得到了三个比例式相乘：\(\frac{AF}{FB}\frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}\)，相乘结果就是 1。
    在上面的比例式中，如果把代表每段直线的两个字母看成是两个独立的变量，那么分子、分母中相同的字母就可“约去”，“相约”的结果就是 1。如果“约”不干净，那比例式就是写错了。
    再举一例，假如你住在 D 城市，你可以选择 D→B→C→F→P→A→D 路线，这样就有 \(\frac{DB}{BC}\frac{CF}{FP}\frac{PA}{AD}=1\)。你也可以选择 D→P→A→E→C→B→D 路线，这样就有 \(\frac{DP}{PA}\frac{AE}{EC}\frac{CB}{BD}=1\)。你能不能从 D 出发，选择走 D→A→P→\(\cdots\) 呢？也是可以的，但是 AP 公路要多走一次才能回到起点 D。具体说就是 D→A→P→B→E→C→A→P→D，这时有四个比例式相乘：\(\frac{DA}{AP}\frac{PB}{BE}\frac{EC}{CA}\frac{AP}{PD}=1\)，可以看出，这时分子中的 AP 与分母中的 AP 能互相抵消，又因 \(DA=AD\)，所以结果等同于 \(\frac{PB}{BE}\frac{EC}{CA}\frac{AD}{PD}=1\)，也就是从 P 点出发的一条路线。
   

数学小白新

天山草 发表于 2023-2-8 00:00
上面这些等式是如何写出来的？ 怎样保证这些等式不会写错呢？
这些等式都符合一个共同的规律，这个规律非 ...

非常感谢老师解答！