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已知三角形的外接圆半径为 2 ,求三角形的面积的最大值

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发表于 2022-12-4 22:52 | 显示全部楼层 |阅读模式
已知三角形的外接圆半径为 2 ,求三角形的面积的最大值。

请教方法
发表于 2022-12-5 00:07 | 显示全部楼层
若三角形的外接圆半径为2,求三角形的面积的最大值.

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谢谢  发表于 2022-12-5 14:27
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R, R为三角形外接圆半径 三角形面积S=absinC/2=ab(c/2R)/2=abc/4R  发表于 2022-12-5 00:24
设三角形三边分别为a、b、c,外接圆半径为R 则三角形面积=abc/4R S=2R²·sinA·sinB·sinC  发表于 2022-12-5 00:22
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发表于 2022-12-5 00:23 | 显示全部楼层
楼上 liangchuxu 的解答,已收藏。

我过去在《数学中国》发表过一个帖子,帖子中也证明了与楼上同样的结果:

圆内接三角形,当它是正三角形时,面积最大,最大值为 3√3R^2/4 (R 是外接圆半径)。

在本题中,外接圆半径 R=2 ,所以,圆内接三角形面积的最大值是  3√3×2^2/4=3√3 。





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未  发表于 2022-12-8 21:49
谢谢  发表于 2022-12-5 14:27
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发表于 2022-12-5 00:25 | 显示全部楼层
步骤1.

在锐角△abc中,设bc=a,ac=b,ab=c。作ch⊥ab垂足为点h

ch=a·sinb

ch=b·sina

∴a·sinb=b·sina

得到

a/sina=b/sinb

同理,在△abc中,

b/sinb=c/sinc

步骤2.

证明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r:

如图,任意三角形abc,作abc的外接圆o.

作直径bd交⊙o于d.

连接da.

因为直径所对的圆周角是直角,所以∠dab=90度

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠d等于∠c.

所以c/sinc=c/sind=bd(直径)=2r
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发表于 2022-12-5 15:45 | 显示全部楼层
luyuanhong 发表于 2022-12-5 00:23
楼上 liangchuxu 的解答,已收藏。

我过去在《数学中国》发表过一个帖子,帖子中也证明了与楼上同样的结 ...

特殊值找特殊位置
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