求整数 t ，使得关于 x 的方程 x^2+(1-t)x-t^2=0 的解都是整数

时空伴随者

不识庐山真面目，只缘身在此山中。
换位思考，航拍庐山。
当x是满足\(x^2+(1-t)x-t^2=0\)的整数时，t也是整数。
显然\(x_0=t_0=0，是方程x^2+(1-t)x-t^2=0的解。\)
当t=0时，由\(x^2+x=0\)解得\(x_0=0,x_1=-1\)
由x=-1得，\(1-(1-t)-t^2=0\)，解得\(t_0=0,t_1=1\)
当t=1时，由\(x^2-1=0\)解得\(x_1=-1,x_2=1\)
由x=1得，\(1+(1-t)-t^2=0\)，解得\(t_1=1,t_2=-2\)
当t=-2时，由\(x^2+3x-4=0\)解得\(x_2=1,x_3=-4\)
由x=-4得，\(16-4(1-t)-t^2=0\)，解得\(t_2=-2,t_3=6\)
当t=6时，由\(x^2-5x-36=0\)解得\(x_3=-4,x_4=9\)
由x=9得，\(81+9(1-t)-t^2=0\)，解得\(t_3=6,t_4=-15\)
如此交替进行，得到
\(t=0,1,-2,6,-15,\dots\)
\(x=0,-1,1,-4,9,-25,\dots\)
对t的相邻两项求最大公约数得\(1,1,2,3,5,\dots\)，正好是Fibonacci 数列。
从而得出t的全部解是Fibonacci 数列相邻两项的乘积（包括0），从第一项开始正负交替。

cgl_74

H2L 发表于 2022-12-6 21:44
陆老师能帮忙看看那里的⑤为什么那样构造吗 谢谢

1、个人认为，此题做到第4步，已经可以了。结论很清晰，好理解。要求出全解或验证一些例子，辅助以计算机就可以。数学最关键的还是思路清晰，结论明确。具体的值其实都是一个符号而已。
2、第5步做出的解析式，看上去反而没有那么清晰明了。还需要多想一层才知道正确性。
3、至于怎么那样构造，这个我也没有找到通用的方法。我是尝试了一些值，利用书对的特点，应用配方法构造出来的，或者说是尝试出来的。对于少量形式的完全平方数是有效的，比如5K^2 +4也是可以用的，以及13K^2-4等等都可以用。具体哪些形式我就不展开了，你有兴趣自己研究下，更有帮助。

王守恩

luyuanhong 发表于 2022-12-3 14:29
题  求整数 t ，使得关于 x 的方程 x^2+(1-t)x-t^2=0 的解都是整数。

解 写出一个首项为 0,1 的 Fibonac ...

题  求整数 t ，使得关于 x 的方程 x^2+(1-t)x-t^2=0 的解都是整数。

整数 t 只能用陆老师的办法:

Table[Fibonacci[n - 1] Fibonacci[n] Cos[n \[Pi]], {n, 1, 28}]

{0, 1, -2, 6, -15, 40, -104, 273, -714, 1870, -4895, 12816, -33552, 87841, -229970,
602070, -1576239, 4126648, -10803704, 28284465, -74049690, 193864606,
-507544127, 1328767776, -3478759200, 9107509825, -23843770274, ......}

如果去掉负号，这样也可以：LinearRecurrence[{2, 2, -1}, {0, 1, 2}, 100]

{0, 1, 2, 6, 15, 40, 104, 273, 714, 1870, 4895, 12816, 33552, 87841, 229970,
602070, 1576239, 4126648, 10803704, 28284465, 74049690, 193864606, 507544127,
1328767776, 3478759200, 9107509825, 23843770274, 62423800998, 163427632719,
427859097160, 1120149658760, 2932589879121, 7677619978602, 20100270056686,
52623190191455, 137769300517680, 360684711361584, 944284833567073, .........

H2L

cgl_74 发表于 2022-12-8 19:03
1、个人认为，此题做到第4步，已经可以了。结论很清晰，好理解。要求出全解或验证一些例子，辅助以计算 ...

啊好  感觉没什么方向就是  全部展开过感觉不太好弄

王守恩

我也说不好主帖与这方程的联系，楼主自己慢慢琢磨吧。

Solve[{1 == x^2 + x y - y^2, 1000 > x > 0, 1000 > y > 0}, {x, y}, Integers]

{{x -> 1, y -> 1}, {x -> 2, y -> 3}, {x -> 5, y -> 8}, {x -> 13,  y -> 21},

{x -> 34, y -> 55}, {x -> 89, y -> 144}, {x -> 233, y -> 377}, {x -> 610, y -> 987}}

风卷浪起

cgl_74 发表于 2022-12-6 04:09
这个题我来给一个完整的解法，供讨论！

太厉害了！