求整数 t ，使得关于 x 的方程 x^2+(1-t)x-t^2=0 的解都是整数

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△和韦达那些都尝试过了  行不通  但是以我现在的水平想不出其他方法了  希望大家能帮我看一下

luyuanhong

题  求整数 t ，使得关于 x 的方程 x^2+(1-t)x-t^2=0 的解都是整数。

解 写出一个首项为 0,1 的 Fibonacci 数列：

  0 ，1 ，1 ，2 ，3 ，5 ，8 ，13 ，21 ，34 ，55 ，89 ，……

求出上述数列中相邻两项的乘积：

0×1=0 ，1×1=1 ，1×2=2 ，2×3=6 ，3×5=15 ，5×8=40 ，8×13=104 ，13×21=273，21×34=714 ，34×55=1870 ，……

令 t 依次取上述乘积的值，但奇数项要加上一个负号，偶数项则不加负号：

t= -0 ，1 ，-2 ，6 ，-15 ，40 ，-104 ，273 ，-714 ，1870 ,……

当 t=0 时，方程成为 x^2+x=0 ，有整数解 x1=0 ，x2=-1 。

当 t=1 时，方程成为 x^2-1=0 ，有整数解 x1=1 ，x2=-1 。

当 t=-2 时，方程成为 x^2+3x-4=0 ，有整数解 x1=1 ，x2=-4 。

当 t=6 时，方程成为 x^2-5x+36=0 ，有整数解 x1=9 ，x2=-4 。

当 t=-15 时，方程成为 x^2+16x-225=0 ，有整数解 x1=9 ，x2=-25 。

当 t=40 时，方程成为 x^2-39x-1600=0 ，有整数解 x1=64 ，x2=-25 。

当 t=-104 时，方程成为 x^2+105x-10816=0 ，有整数解 x1=64 ，x2=-169 。

当 t=273 时，方程成为 x^2-272x-74529=0 ，有整数解 x1=441 ，x2=-169 。

当 t=-714 时，方程成为 x^2+715x-509706=0 ，有整数解 x1=441 ，x2=-1156 。

当 t=1870 时，方程成为 x^2-1869x-3496900=0 ，有整数解 x1=3025 ，x2=-1156 。
……

liangchuxu

就是求解，然后判断。

时空伴随者

分析判别式，t=0,1,6

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luyuanhong 发表于 2022-12-3 14:29
题  求整数 t ，使得关于 x 的方程 x^2+(1-t)x-t^2=0 的解都是整数。

解 写出一个首项为 0,1 的 Fibonac ...

感谢教授🙏🙏🙏

H2L

时空伴随者 发表于 2022-12-3 14:24
分析判别式，t=0,1,6

谢谢

H2L

luyuanhong 发表于 2022-12-3 14:29
题  求整数 t ，使得关于 x 的方程 x^2+(1-t)x-t^2=0 的解都是整数。

解 写出一个首项为 0,1 的 Fibonac ...

能否请问一下您是怎么想到跟斐波那契数列有关的

cgl_74

这个题我来给一个完整的解法，供讨论！

luyuanhong

楼上 cgl_74 的解答很好！已收藏。

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luyuanhong 发表于 2022-12-6 07:26
楼上 cgl_74 的解答很好！已收藏。

陆老师能帮忙看看那里的⑤为什么那样构造吗 谢谢