关于偶数N以内比较精确的素数对的个数的计算公式

大傻8888888

我原来的公式则如下：
（M/4）∏(1-2/p)∏[(p-1)/(p-2)]/1.2609....
这是根据梅滕斯定理推理出来的，这个公式表示当M趋近无限大时M内单记法的素数对个数。
可能有人认为我的公式只能计算M趋近无限大时M内单记法的素数对个数无法检验是否正确，那么今天我就提出这样一个公式如下：
（M/4）∏(1-2/p)∏[(p-1)/(p-2)]/λ^2     （ ∏[(p-1)/(p-2)]里p|N    2＜p≤√N）
λ=M∏(1-/p)/［π（M）-π（√M）］≈M∏(1-/p)/π（M）      （ 2≤p≤√N）
当M趋近无限大时M内单记法的素数对个数如下：
（M/4）∏(1-2/p)∏[(p-1)/(p-2)]/λ^2=（M/4）∏(1-2/p)∏[(p-1)/(p-2)]/1.2609....
希望有计算能力的网友检验上面公式的计算值和实际值是否匹配，我认为它们非常接近。

愚工688

100亿的连续偶数的素对下界计算值的计算与相对误差：

  G(10000000000) = 18200488；
inf( 10000000000 )≈  18192520.4 , Δ≈-0.0004378,infS（m)= 13644390.26 , k(m)= 1.33333

  G(10000000002) = 27302893；
inf( 10000000002 )≈  27288780.5 , Δ≈-0.0005169,infS（m)= 13644390.27 , k(m)= 2

  G(10000000004) = 13655366；
inf( 10000000004 )≈  13644390.3 , Δ≈-0.0008038,infS（m)= 13644390.27 , k(m)= 1

  G(10000000006) = 13742400；
inf( 10000000006 )≈  13737209.3 , Δ≈-0.0003777,infS（m)= 13644390.27 , k(m)= 1.0068

  G(10000000008) = 27563979；
inf( 10000000008 )≈  27548673.7 , Δ≈-0.0005553,infS（m)= 13644390.27 , k(m)= 2.01905

  G(10000000010) = 28031513
inf( 10000000010 )≈  28018960 , Δ≈-0.0004478,infS（m)= 13644390.28 , k(m)= 2.05351

  G(10000000012) = 13654956；
inf( 10000000012 )≈  13647157.3 , Δ≈-0.0005711,infS（m)= 13644390.28 , k(m)= 1.0002

  G(10000000014) = 27361348；
inf( 10000000014 )≈  27348233.3 , Δ≈-0.0004793,infS（m)= 13644390.28 , k(m)= 2.00436

  G(10000000016) = 13708223；
inf( 10000000016 )≈  13701479.8 , Δ≈-0.0004919,infS（m)= 13644390.29 , k(m)= 1.00418

  G(10000000018) = 13781412；
inf( 10000000018 )≈  13776842.4 , Δ≈-0.0003316,infS（m)= 13644390.29 , k(m)= 1.00971

  G(10000000020) = 37335123；
inf( 10000000020 )≈  37319942.4 , Δ≈-0.0004066,infS（m)= 13644390.29 , k(m)= 2.73519

  G(10000000022) = 13653503；
inf( 10000000022 )≈  13646792.1 , Δ≈-0.0004915,infS（m)= 13644390.29 , k(m)= 1.00018

  G(10000000024) = 16587802；
inf( 10000000024 )≈  16575407.5 , Δ≈-0.0007472,infS（m)= 13644390.3 , k(m)= 1.21481

  G(10000000026) = 28871083；
inf( 10000000026 )≈  28857101.3 , Δ≈-0.0004843,infS（m)= 13644390.3 , k(m)= 2.11494

G(10000000028) = 13665084；
inf( 10000000028 )≈  13661050.1 , Δ≈-0.0002952,infS（m)= 13644390.3 , k(m)= 1.00122

G(10000000030) = 19127680；
inf( 10000000030 )≈  19121318.9 , Δ≈-0.0003326,infS（m)= 13644390.3 , k(m)= 1.40141

G(10000000032) = 32355048；
inf( 10000000032 )≈  32342258.5 , Δ≈-0.0003953,infS（m)= 13644390.31 , k(m)= 2.37037


下面再以今天日期的1000倍为随机偶数计算一下连续偶数的素数对数量，再看看计算精度如何？
正在计算中，需要一些时间……

愚工688

计算式与计算值：
inf( 20221402000 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20221402000 /2 -2)*p(m) ≈ 34531734.2
inf( 20221402002 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20221402002 /2 -2)*p(m) ≈ 51937217.5
inf( 20221402004 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20221402004 /2 -2)*p(m) ≈ 27422259.5
inf( 20221402006 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20221402006 /2 -2)*p(m) ≈ 28620162.3
inf( 20221402008 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20221402008 /2 -2)*p(m) ≈ 51797601.3
inf( 20221402010 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20221402010 /2 -2)*p(m) ≈ 34555050.7
inf( 20221402012 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20221402012 /2 -2)*p(m) ≈ 33887141.9
inf( 20221402014 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20221402014 /2 -2)*p(m) ≈ 58273560.9
inf( 20221402016 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20221402016 /2 -2)*p(m) ≈ 27132076.9
inf( 20221402018 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20221402018 /2 -2)*p(m) ≈ 25900760.5
inf( 20221402020 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20221402020 /2 -2)*p(m) ≈ 69287548.4
inf( 20221402022 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20221402022 /2 -2)*p(m) ≈ 25898800.7

具体计算值精度等得出真值后再计算贴出。打错时间参数了，把202212打成202214了，真值只能将错就错跟随了。

愚工688

一计算怎么精度这么差了，再一看，前面计算的日期偶数打错了，只能再筛出错误日期的素对真值计算精度。

        G(20221402000) = 34549782；
inf( 20221402000 )≈  34531734.2 , jd ≈ 0.99948 ,infS(m) = 25898800.66 , k(m)= 1.33333
        G(20221402002) = 51969967；
inf( 20221402002 )≈  51937217.5 , jd ≈ 0.99937 ,infS(m) = 25898800.66 , k(m)= 2.00539
        G(20221402004) = 27442446；
inf( 20221402004 )≈  27422259.5 , jd ≈ 0.99926 ,infS(m) = 25898800.66 , k(m)= 1.05882
        G(20221402006) = 28639397；
inf( 20221402006 )≈  28620162.3 , jd ≈ 0.99933 ,infS(m) = 25898800.67 , k(m)= 1.10508
        G(20221402008) = 51828949；
inf( 20221402008 )≈  51797601.3 , jd ≈ 0.99940 ,infS(m) = 25898800.67 , k(m)= 2
        G(20221402010) = 34576166；
inf( 20221402010 )≈  34555050.7 , jd ≈ 0.99939 ,infS(m) = 25898800.67 , k(m)= 1.33423
        G(20221402012) = 33911270；
inf( 20221402012 )≈  33887141.9 , jd ≈ 0.99929 ,infS(m) = 25898800.67 , k(m)= 1.30844
        G(20221402014) = 58307164；
inf( 20221402014 )≈  58273560.9 , jd ≈ 0.99942 ,infS(m) = 25898800.68 , k(m)= 2.25005
        G(20221402016) = 27143037；
inf( 20221402016 )≈  27132076.9 , jd ≈ 0.99960 ,infS(m) = 25898800.68 , k(m)= 1.04762
        G(20221402018) = 25914804；
inf( 20221402018 )≈  25900760.5 , jd ≈0.99946 ,infS(m) = 25898800.68 , k(m)= 1.00008
        G(20221402020) = 69341475；
inf( 20221402020 )≈  69287548.4 , jd ≈0.99922 ,infS(m) = 25898800.68 , k(m)= 2.67532
        G(20221402022) = 25911186；
inf( 20221402022 )≈  25898800.7 , jd ≈0.99952 ,infS(m) = 25898800.69 , k(m)= 1
time start =21:33:24  ,time end =21:38:19   ,time use =

重生888@

愚工688 发表于 2022-12-2 21:31
100亿的连续偶数的素对下界计算值的计算与相对误差：

  G(10000000000) = 18200488；

我的计算精度没有您高！
G（10000000000）=8200488
D（10000000000）=5/6*（W）=1798636            D/G=0.987810

G（10000000002）=（1798636/2）*3=26967954           D/G=0.987732

愚工688

重生888@ 发表于 2022-12-3 01:18
我的计算精度没有您高！
G（10000000000）=8200488
D（10000000000）=5/6*（W）=1798636            D/ ...

今天日期的1000倍起始的连续偶数的素对下界计算值以及计算精度：



G(20221203000) = 72203663 ；inf( 20221203000 )≈  72155420.3 , jd ≈0.99933 , k(m)= 2.78608
G(20221203002) = 37691608 ；inf( 20221203002 )≈  37670612.1 , jd ≈0.99944 , k(m)= 1.45455
G(20221203004) = 25912775 ；inf( 20221203004 )≈  25898545.8 , jd ≈0.99945 , k(m)= 1
G(20221203006) = 51827665 ；inf( 20221203006 )≈  51797091.6 , jd ≈0.99941 , k(m)= 2
G(20221203008) = 25928981 ；inf( 20221203008 )≈  25915243.8 , jd ≈0.99947 , k(m)= 1.00064
time start =22:17:14  ,time end =22:18:58   ,time use =

重生888@

愚工688 发表于 2022-12-3 23:05
今天日期的1000倍起始的连续偶数的素对下界计算值以及计算精度：

G（20221103000）=72203663
D（20221203000）=5/3*（W）=68203402         68203402/4=17050850
D1=68203402*（37）=70152072           D1/G=0.971586
不知182173能不能再分解？

G（20221203006）=51827665
D（20221203006）=17050850*3=51152551          D/G=0.986973

重生888@

182173= 67*2179 你现在的素对计算值的精度基本上在0.97-0.99区域。
谢谢愚工好友的分解和点评！

愚工688

以今天日期的千倍起始的连续偶数的素数对下界数量的计算：
inf( 20221205000 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20221205000 /2 -2)*p(m) ≈ 34531397.8
inf( 20221205002 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20221205002 /2 -2)*p(m) ≈ 26639606.8
inf( 20221205004 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20221205004 /2 -2)*p(m) ≈ 76626532.4
inf( 20221205006 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20221205006 /2 -2)*p(m) ≈ 25900504.6
inf( 20221205008 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20221205008 /2 -2)*p(m) ≈ 26231826.1
inf( 20221205010 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20221205010 /2 -2)*p(m) ≈ 71500306.1
inf( 20221205012 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20221205012 /2 -2)*p(m) ≈ 27421992.4
inf( 20221205014 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20221205014 /2 -2)*p(m) ≈ 25898548.4
inf( 20221205016 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20221205016 /2 -2)*p(m) ≈ 57155417.1
inf( 20221205018 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20221205018 /2 -2)*p(m) ≈ 31099885.2
inf( 20221205020 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20221205020 /2 -2)*p(m) ≈ 34780150
inf( 20221205022 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20221205022 /2 -2)*p(m) ≈ 51801556.9

真值：
20221205000:12:2

G(20221205000) = 34556782
G(20221205002) = 26658284
G(20221205004) = 76676689
G(20221205006) = 25911624
G(20221205008) = 26249303
G(20221205010) = 71542859
G(20221205012) = 27434561
G(20221205014) = 25915664
G(20221205016) = 57190879
G(20221205018) = 31118719
G(20221205020) = 34804451
G(20221205022) = 51829782

count = 12, algorithm = 2, working threads = 2, time use 5.575 sec

愚工688

上面偶数的具体计算值的精度：

G(20221205000) = 34556782；
inf( 20221205000 )≈  34531397.8 , jd ≈ 0.99927 ,infS(m) = 25898548.35 , k(m)= 1.33333
G(20221205002) = 26658284；
inf( 20221205002 )≈  26639606.8 , jd ≈ 0.99930 ,infS(m) = 25898548.35 , k(m)= 1.02861
G(20221205004) = 76676689；
inf( 20221205004 )≈  76626532.4 , jd ≈ 0.99935 ,infS(m) = 25898548.35 , k(m)= 2.95872
G(20221205006) = 25911624；
inf( 20221205006 )≈  25900504.6 , jd ≈ 0.99957 ,infS(m) = 25898548.36 , k(m)= 1.00008
G(20221205008) = 26249303；
inf( 20221205008 )≈  26231826.1 , jd ≈ 0.99933 ,infS(m) = 25898548.36 , k(m)= 1.01287
G(20221205010) = 71542859；
inf( 20221205010 )≈  71500306.1 , jd ≈ 0.99941 ,infS(m) = 25898548.36 , k(m)= 2.76078
G(20221205012) = 27434561；
inf( 20221205012 )≈  27421992.4 , jd ≈ 0.99954 ,infS(m) = 25898548.36 , k(m)= 1.05882
G(20221205014) = 25915664；
inf( 20221205014 )≈  25898548.4 , jd ≈ 0.99934 ,infS(m) = 25898548.37 , k(m)= 1
G(20221205016) = 57190879；
inf( 20221205016 )≈  57155417.1 , jd ≈ 0.99938 ,infS(m) = 25898548.37 , k(m)= 2.2069
G(20221205018) = 31118719；
inf( 20221205018 )≈  31099885.2 , jd ≈ 0.99939 ,infS(m) = 25898548.37 , k(m)= 1.20084
G(20221205020) = 34804451；
inf( 20221205020 )≈  34780150.0 , jd ≈ 0.99930 ,infS(m) = 25898548.37 , k(m)= 1.34294
G(20221205022) = 51829782；
inf( 20221205022 )≈  51801556.9 , jd ≈ 0.99946 ,infS(m) = 25898548.38 , k(m)= 2.00017

time start =08:53:45  ,time end =08:58:03   ,   （连乘式的计算速度比较慢，更慢的是手工计算精度）
count = 12, algorithm = 2, working threads = 2, time use 5.575 sec