sin(x) 的泰勒级数的导数的级数，一致收敛吗？

大纲007

大家好

图中求cos（x）的泰勒级数，方法使用了sin(x)级数的“逐项求导定理”


书上讲“逐项求导定理”的一个前提条件是，导数级数要一致收敛


我记得“一致收敛”的几何含义是，n>N时，全体x的函数图形，都能限制在极限值的\(\pm\varepsilon\)范围内。



可是图中所示，总有n越大，总有x对应的函数值，超过\(\pm\varepsilon\)范围！这就不符合“一致收敛”条件了吧？

谢谢

zzzbin872

单个项肯定不行啊，那个只是个几何含义不能作为判定条件（几何含义是充分非必要的，不是充要）。充要条件是部分和小于\epsilon就可以了，再看你的图，虽然每个项都发散，但加减法后都是能相互抵消的，这就不难理解部分和为什么总是收敛也就是一致收敛。

zzzbin872

zzzbin872 发表于 2022-9-25 07:41
单个项肯定不行啊，那个只是个几何含义不能作为判定条件（几何含义是充分非必要的，不是充要）。充要条件是 ...

你画的好像是P_n。

但是定义是P_n(x)收敛到P_n(x_0)，并不是P_n(x)要一致收敛。你画的是的的确是部分和，我看错了，但一致收敛只要求P_n(x)收敛就行了，而且是点收敛不是一致收敛，最后要证明的是u_n一致收敛。

开始看错了以为你就画的是u_n，仔细一看好像是P_n，前面那页当我没说。