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向量点积推导出“函数内积等同于函数乘积积分”\(\triangle x\)造成的障碍

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发表于 2022-8-18 07:53 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 wufaxian 于 2022-8-18 11:54 编辑

简单说。作者企图通过对两个函数在指定区间上均匀抽样,令抽样结果 变成向量f 和g  。把函数相乘 转化成函数抽样值形成的向量f和g的点积。(请看下方截图当中的红框)这说的通。但是为了从这里转化成积分,还必须将其转化为黎曼和并求极限。这就引入了 \(\triangle x\)   作者给出的理由是为了让它标准化!(请看截图中字幕上的红框)。这就引出了问题:

1、一旦在红框外引入了\(\triangle x\)  这就不再是“标准的向量点积”了。前面做的铺垫都白做了。既然基础都没了,在强行以此证明函数的点积就是函数在指定区间上的积分。这就解释不通了!

2、\(\triangle x\)   在这里的作用是标准化?我目前所知的标准化就是数据-均值 再除以标准差。  在这里乘以\(\triangle x\)  为什么就起到了标准化的作用?为什么要在这里进行标准化?合理性是什么?


以下是视频地址:点击后可以直接空降到截图中的画面!


https://www.bilibili.com/video/BV1t44y1h7Xb?spm_id_from=333.1007.top_right_bar_window_history.content.click&vd_source=a553e7e4f04d4c30ac8e2a3e4bb2fdba&t=518.9




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当引入函数内积以后会产生一系列问题:
1、书中关于函数的长度给出如下定义:(见下图)。如果承接上文中提到的函数相乘后的积分看作函数内积。那么下面关于函数长度就应该看作函数的“模长”。但问题是什么是函数的模长?是sinx 在0-2pi区间内 曲线的长度? 我觉得应该不对。因为 \(\left( \sin2x\right)^2;\left( \sin5x\right)^2;\left( \sin100x\right)^2\)   这些函数在0-2pi区间的积分都是 pi ,也就是它们的模长都是\(\sqrt{\pi}\)  ?? 显然不对吧?这几个函数在0-2pi区间的曲线长度不可能相等吧?



2、向量内积有 \(a\cdot b\)=|a||b| cosθ    。按照上面引入函数长度的概念。那么两个函数f 和g 的内积是否也等于|f||g| cosθ?? 向量的夹角容易在笛卡尔坐标中画出来。那两个函数夹角能在笛卡尔坐标中标识出来么?是否有函数夹角的概念存在呢?

3、如下图函数傅里叶级数的展开式。可以将f(x) 看作无穷多三角函数的线性组合。以上是建立在不同频率三角函数彼此正交的基础之上。说不同频率三角函数彼此正交,根据之一是 不同频率三角函数相乘 在0-2pi 积分结果等于0 。也就是不同频率三角函数内积等于0 ,进而推导出不同频率三角函数正交。但是这里面有个问题。你必须将积分上下限定在0-2pi 这个结论才成立。也就是说不同频率三角函数内积等于0是有条件成立,而不是无条件成立。
      对比之下,向量正交可是无条件的。比如向量(1,0)和(0,1) 任何情况下都彼此正交。所以这两个向量可以做正交基。但是不同频率三角函数彼此正交是有条件的(条件就是积分区间在0-2pi),可是当你把他当作正交基用于傅里叶级数时,却没有加这个限定条件。那么在傅里叶级数展开式中,为什么不同频率的三角函数还能作正交基使用呢?



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在谷歌搜索函数内积,排第一的搜索结果是“内积空间”的维基百科链接。所以函数内积相关的内容是在内积空间 中重点讲的么?

或者哪本书的相关章节对函数内积讲的比较深入。可否推荐一下。
 楼主| 发表于 2022-8-18 12:50 | 显示全部楼层
图片可以正常显示了
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发表于 2022-8-28 20:53 | 显示全部楼层
关键字:泛函分析、Hilbert空间、酉内积
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 楼主| 发表于 2022-8-28 21:11 | 显示全部楼层
13668164639 发表于 2022-8-28 20:53
关键字:泛函分析、Hilbert空间、酉内积

谢谢指路。请问有什么适合工科生阅读的泛函分析推荐么?特别是针对上述问题有重点讲解的。
听说要学过实分析才能学泛函分析。不知道是不是这样。我没学过分析,只学过微积分,不知道能不能看懂泛函分析。
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发表于 2022-8-28 21:21 | 显示全部楼层
wufaxian 发表于 2022-8-28 21:11
谢谢指路。请问有什么适合工科生阅读的泛函分析推荐么?特别是针对上述问题有重点讲解的。
听说要学过实 ...

简单了解泛函分析不必需实分析,泛函分析教材我读的都是面向数学系的,工科的话可以选读一些章节,比如赋范线性空间、线性算子、内积空间、希尔伯特空间
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 楼主| 发表于 2022-8-28 21:41 | 显示全部楼层
13668164639 发表于 2022-8-28 21:21
简单了解泛函分析不必需实分析,泛函分析教材我读的都是面向数学系的,工科的话可以选读一些章节,比如赋 ...

好,谢谢指路。
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发表于 2022-8-28 22:03 | 显示全部楼层
我本科不是数学,是业余学习数学的
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