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题 有多少个两位数能被它的各位数字之和整除?
解 设两位数的十位数是 m ,个位数是 n 。这时两位数就是 10m+n ,各位数字之和就是 m+n 。
(一)如果个位数 n = 0 ,则 10m+n = 10m 显然能被 m+n = m 整除,有下列 9 组解:
10/(1+0) = 10 ,20/(2+0) = 10 ,30/(3+0) = 10 ,…… ,90/(9+0)=10 。
下面的讨论,不再考虑 n = 0 的情形。
(二)如果 m,n 都是奇数,则两位数 10m+n 是奇数,m+n 是偶数,显然 10m+n 不能被 m+n 整除。
(三)如果 m,n 一奇一偶,且 m+n = 9 ,这时 10m+n = 9m+(m+n) = 9m+9 是 9 的倍数,必定能被
m+n 整除,有下列 8 组解:
18/(1+8) = 2 ,27/(2+7) = 3 ,36/(3+6) = 4 ,45/(4+5) = 5 ,
81/(8+1) = 9 ,72/(7+2) = 8 ,63/(6+3) = 7 ,54/(5+4) = 6 。
(四)如果 m,n 一奇一偶,除了上面(三)的情形外,这时还可以搜索到有下列 2 组解:
12/(1+2) = 4 ,21/(2+1) = 7 。
(五)如果 m,n 都是偶数,但 m/2,n/2 都是奇数。将 10m+n 和 m+n 同时约去 2 ,就变成(二)
的情形,显然这时 10m+n 也不能被 m+n 整除。
(六)如果 m,n 都是偶数,m/2,n/2 是一奇一偶。将 10m+n 和 m+n 同时约去 2 ,就变成(四)
的情形,这时也有 2 组解:
24/(2+4) = 4 ,42/(4+2) = 7 。
(七)如果 m,n 都是偶数,但 m/4,n/4 都是奇数。将 10m+n 和 m+n 同时约去 4 ,又变成(二)
的情形,显然这时 10m+n 也不能被 m+n 整除。
(八)如果 m,n 都是偶数,m/4,n/4 是一奇一偶。将 10m+n 和 m+n 同时约去 4 ,又变成(四)
的情形,这时也有 2 组解:
48/(4+8) = 4 ,84/(8+4) = 7 。
(九)如果 m,n 都是偶数,m/4,n/4 也都是偶数,只有 m = n = 8 ,但 88 不能被 8+8 整除,无解。
综合以上分析,可知符合本题要求的解共有 9 + 8 + 2 + 2 + 2 = 23 组。
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