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有多少个两位数能被它的各位数字之和整除?

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发表于 2022-8-17 21:44 | 显示全部楼层 |阅读模式


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发表于 2022-8-18 03:12 | 显示全部楼层
  有多少个两位数能被它的各位数字之和整除?

  设两位数的十位数是 m ,个位数是 n 。这时两位数就是 10m+n ,各位数字之和就是 m+n 。

(一)如果个位数 n = 0 ,则 10m+n = 10m 显然能被 m+n = m 整除,有下列 9 组解

        10/(1+0) = 10 ,20/(2+0) = 10 ,30/(3+0) = 10 ,…… ,90/(9+0)=10 。
     
     下面的讨论,不再考虑 n = 0 的情形。

(二)如果 m,n 都是奇数,则两位数 10m+n 是奇数,m+n 是偶数,显然 10m+n 不能被 m+n 整除。

(三)如果 m,n 一奇一偶,且 m+n = 9 ,这时 10m+n = 9m+(m+n) = 9m+9 是 9 的倍数,必定能被

m+n 整除,有下列 8 组解

            18/(1+8) = 2 ,27/(2+7) = 3 ,36/(3+6) = 4 ,45/(4+5) = 5 ,

            81/(8+1) = 9 ,72/(7+2) = 8 ,63/(6+3) = 7 ,54/(5+4) = 6 。

(四)如果 m,n 一奇一偶,除了上面(三)的情形外,这时还可以搜索到有下列 2 组解

                     12/(1+2) = 4 ,21/(2+1) = 7 。

(五)如果 m,n 都是偶数,但 m/2,n/2 都是奇数。将 10m+n 和 m+n 同时约去 2 ,就变成(二)

的情形,显然这时 10m+n 也不能被 m+n 整除。

(六)如果 m,n 都是偶数,m/2,n/2 是一奇一偶。将 10m+n 和 m+n 同时约去 2 ,就变成(四)

的情形,这时也有 2 组解

                     24/(2+4) = 4 ,42/(4+2) = 7 。

(七)如果 m,n 都是偶数,但 m/4,n/4 都是奇数。将 10m+n 和 m+n 同时约去 4 ,又变成(二)

的情形,显然这时 10m+n 也不能被 m+n 整除。

(八)如果 m,n 都是偶数,m/4,n/4 是一奇一偶。将 10m+n 和 m+n 同时约去 4 ,又变成(四)

的情形,这时也有 2 组解

                     48/(4+8) = 4 ,84/(8+4) = 7 。

(九)如果 m,n 都是偶数,m/4,n/4 也都是偶数,只有 m = n = 8 ,但 88 不能被 8+8 整除,无解。

     综合以上分析,可知符合本题要求的解共有 9 + 8 + 2 + 2 + 2 = 23 组

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谢谢老师,理解了  发表于 2022-8-18 10:57
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发表于 2022-8-18 09:22 | 显示全部楼层
分两类:
10的倍数,共9个;
3的倍数,包括3,6,9,12。
其中 3:12,21;6:24,42;9:18,27,...,81;12:48,84
总共23个

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感谢,理解了  发表于 2022-8-18 10:56
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发表于 2022-8-18 09:43 | 显示全部楼层
有9个一位数能被它的各位数字之和整除。
有23个两位数能被它的各位数字之和整除。
有180个三位数能被它的各位数字之和整除。

9, 23, 180, 1325, 10334, 83556, 710667, 6148698, 54619717, 491432596, 4471325309, ......

参考《整数序列在线百科全书(OEIS)》A066008——快乐的数
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发表于 2022-8-18 12:13 | 显示全部楼层
1: 100 ÷ 1 = 100
2: 102 ÷ 3 = 34
3: 108 ÷ 9 = 12
4: 110 ÷ 2 = 55
5: 111 ÷ 3 = 37
6: 112 ÷ 4 = 28
7: 114 ÷ 6 = 19
8: 117 ÷ 9 = 13
9: 120 ÷ 3 = 40
10: 126 ÷ 9 = 14
11: 132 ÷ 6 = 22
12: 133 ÷ 7 = 19
13: 135 ÷ 9 = 15
14: 140 ÷ 5 = 28
15: 144 ÷ 9 = 16
16: 150 ÷ 6 = 25
17: 152 ÷ 8 = 19
18: 153 ÷ 9 = 17
19: 156 ÷ 12 = 13
20: 162 ÷ 9 = 18
21: 171 ÷ 9 = 19
22: 180 ÷ 9 = 20
23: 190 ÷ 10 = 19
24: 192 ÷ 12 = 16
25: 195 ÷ 15 = 13
26: 198 ÷ 18 = 11
27: 200 ÷ 2 = 100
28: 201 ÷ 3 = 67
29: 204 ÷ 6 = 34
30: 207 ÷ 9 = 23
31: 209 ÷ 11 = 19
32: 210 ÷ 3 = 70
33: 216 ÷ 9 = 24
34: 220 ÷ 4 = 55
35: 222 ÷ 6 = 37
36: 224 ÷ 8 = 28
37: 225 ÷ 9 = 25
38: 228 ÷ 12 = 19
39: 230 ÷ 5 = 46
40: 234 ÷ 9 = 26
41: 240 ÷ 6 = 40
42: 243 ÷ 9 = 27
43: 247 ÷ 13 = 19
44: 252 ÷ 9 = 28
45: 261 ÷ 9 = 29
46: 264 ÷ 12 = 22
47: 266 ÷ 14 = 19
48: 270 ÷ 9 = 30
49: 280 ÷ 10 = 28
50: 285 ÷ 15 = 19
51: 288 ÷ 18 = 16
52: 300 ÷ 3 = 100
53: 306 ÷ 9 = 34
54: 308 ÷ 11 = 28
55: 312 ÷ 6 = 52
56: 315 ÷ 9 = 35
57: 320 ÷ 5 = 64
58: 322 ÷ 7 = 46
59: 324 ÷ 9 = 36
60: 330 ÷ 6 = 55
61: 333 ÷ 9 = 37
62: 336 ÷ 12 = 28
63: 342 ÷ 9 = 38
64: 351 ÷ 9 = 39
65: 360 ÷ 9 = 40
66: 364 ÷ 13 = 28
67: 370 ÷ 10 = 37
68: 372 ÷ 12 = 31
69: 375 ÷ 15 = 25
70: 378 ÷ 18 = 21
71: 392 ÷ 14 = 28
72: 396 ÷ 18 = 22
73: 399 ÷ 21 = 19
74: 400 ÷ 4 = 100
75: 402 ÷ 6 = 67
76: 405 ÷ 9 = 45
77: 407 ÷ 11 = 37
78: 408 ÷ 12 = 34
79: 410 ÷ 5 = 82
80: 414 ÷ 9 = 46
81: 420 ÷ 6 = 70
82: 423 ÷ 9 = 47
83: 432 ÷ 9 = 48
84: 440 ÷ 8 = 55
85: 441 ÷ 9 = 49
86: 444 ÷ 12 = 37
87: 448 ÷ 16 = 28
88: 450 ÷ 9 = 50
89: 460 ÷ 10 = 46
90: 465 ÷ 15 = 31
91: 468 ÷ 18 = 26
92: 476 ÷ 17 = 28
93: 480 ÷ 12 = 40
94: 481 ÷ 13 = 37
95: 486 ÷ 18 = 27
96: 500 ÷ 5 = 100
97: 504 ÷ 9 = 56
98: 506 ÷ 11 = 46
99: 510 ÷ 6 = 85
100: 511 ÷ 7 = 73
101: 512 ÷ 8 = 64
102: 513 ÷ 9 = 57
103: 516 ÷ 12 = 43
104: 518 ÷ 14 = 37
105: 522 ÷ 9 = 58
106: 531 ÷ 9 = 59
107: 540 ÷ 9 = 60
108: 550 ÷ 10 = 55
109: 552 ÷ 12 = 46
110: 555 ÷ 15 = 37
111: 558 ÷ 18 = 31
112: 576 ÷ 18 = 32
113: 588 ÷ 21 = 28
114: 592 ÷ 16 = 37
115: 594 ÷ 18 = 33
116: 600 ÷ 6 = 100
117: 603 ÷ 9 = 67
118: 605 ÷ 11 = 55
119: 612 ÷ 9 = 68
120: 621 ÷ 9 = 69
121: 624 ÷ 12 = 52
122: 629 ÷ 17 = 37
123: 630 ÷ 9 = 70
124: 640 ÷ 10 = 64
125: 644 ÷ 14 = 46
126: 645 ÷ 15 = 43
127: 648 ÷ 18 = 36
128: 660 ÷ 12 = 55
129: 666 ÷ 18 = 37
130: 684 ÷ 18 = 38
131: 690 ÷ 15 = 46
132: 700 ÷ 7 = 100
133: 702 ÷ 9 = 78
134: 704 ÷ 11 = 64
135: 711 ÷ 9 = 79
136: 715 ÷ 13 = 55
137: 720 ÷ 9 = 80
138: 730 ÷ 10 = 73
139: 732 ÷ 12 = 61
140: 735 ÷ 15 = 49
141: 736 ÷ 16 = 46
142: 738 ÷ 18 = 41
143: 756 ÷ 18 = 42
144: 770 ÷ 14 = 55
145: 774 ÷ 18 = 43
146: 777 ÷ 21 = 37
147: 780 ÷ 15 = 52
148: 782 ÷ 17 = 46
149: 792 ÷ 18 = 44
150: 800 ÷ 8 = 100
151: 801 ÷ 9 = 89
152: 803 ÷ 11 = 73
153: 804 ÷ 12 = 67
154: 810 ÷ 9 = 90
155: 820 ÷ 10 = 82
156: 825 ÷ 15 = 55
157: 828 ÷ 18 = 46
158: 832 ÷ 13 = 64
159: 840 ÷ 12 = 70
160: 846 ÷ 18 = 47
161: 864 ÷ 18 = 48
162: 870 ÷ 15 = 58
163: 874 ÷ 19 = 46
164: 880 ÷ 16 = 55
165: 882 ÷ 18 = 49
166: 888 ÷ 24 = 37
167: 900 ÷ 9 = 100
168: 902 ÷ 11 = 82
169: 910 ÷ 10 = 91
170: 912 ÷ 12 = 76
171: 915 ÷ 15 = 61
172: 918 ÷ 18 = 51
173: 935 ÷ 17 = 55
174: 936 ÷ 18 = 52
175: 954 ÷ 18 = 53
176: 960 ÷ 15 = 64
177: 966 ÷ 21 = 46
178: 972 ÷ 18 = 54
179: 990 ÷ 18 = 55
180: 999 ÷ 27 = 37

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