解方程 x^2+(16x^2)/(x-4)^2=180

elim

题：解方程 \(x^2+\dfrac{16x^2}{(x-4)^2}=180\) (德国赛题)

llshs好石

考虑一下用勾股数算一算

小fisher

6， 12， -5+√65, -5-√65

小fisher

令y=4x/(x-4)，化简得xy=4(x+y)，同时原式变为x^2+y^2=180
(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=180+8(x+y)，解得x+y=18或x+y=-10
由x+y=x+4x/(x-4)=18解得x1=6, x2=12
由x+y=x+4x/(x-4)=-10解得x3=-5+√65, x4=-5-√65

elim

楼上小fish的解很妙！谢谢．下面的解大同小异：

\(\bigg(x+\dfrac{4x}{x-4}\bigg)^2=x^2+\dfrac{8x^2}{x-4}+\dfrac{16x^2}{(x-4)^2}=180+\dfrac{8x^2}{x-4}\)
\(\bigg(\dfrac{x^2}{x-4}\bigg)^2=180+8\dfrac{x^2}{x-4},\:\:0=y^2-8 y-180=(y+10)(y-18)\)
\((x^2+10(x-4)=0)\vee(x^2-18(x-4)=0),\)
\((x-6)(x-12)(x-5+\sqrt{65})(x+5-\sqrt{65})=0\)

luyuanhong

楼上 elim 的帖子及解答和 小fisher 的解答都很好！已收藏。