AH 是 ΔABC 的高，D 点在 AC 上，BD 交 AH 于 E，CE 交 AB 于 F。求证：∠FHB=∠DHC

数学小白新

已知： ΔABC的高AH，AC上一点D。BD交AH于E，CE交AB于F。求证：∠FHB=∠DHC。

12306

\(分别过F，D作FP，DQ垂直BC于P，Q
易证\dfrac {AH}{PF}=\dfrac {BH}{BP}，\dfrac {AH}{DQ}=\dfrac {HC}{QC}，\dfrac {HE}{FP}=\dfrac {CH}{CP}，\dfrac {HE}{DQ}=\dfrac {BH}{BQ}\)
\(由以上比例式易得\dfrac {BP}{PF}\dfrac {DQ}{CQ}=\dfrac {BH}{HC}（先两式相除消去AH与HE，再相除求出\dfrac {BH}{CH}）\)
\(又\dfrac {AF}{BF}\dfrac {BH}{HC}\dfrac {CD}{AD}=1（塞瓦定理）与\dfrac {AF}{BP}=\dfrac {BH}{BP}，\dfrac {AD}{DC}=\dfrac {HQ}{CQ}
则\dfrac {PH}{BP}\dfrac {BH}{HC}\dfrac {CQ}{HQ}=1\)
\(带入可得\dfrac {PH}{PF}\dfrac {DQ}{CQ}\dfrac {CQ}{HQ}=1，即\dfrac {PH}{QH}=\dfrac {PF}{QD}
故△FPH∽△DQH，
故∠FHB=∠DHC\)

luyuanhong

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luyuanhong