苏联人眼中的代数史

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苏联人眼中的代数史

节选自《数学：它的内容、方法和意义》

作者：(俄罗斯)A.D.亚历山大洛夫等

首先必须指出的是：关于什么是代数以及代数的基本问题是什么这两个问题的观念有两次改变。一次是上世纪的前半期，而另一次是在二十世纪初。在三个不同时期内，人们将三个很不相同的东西理解为代数学，代数学的这些历史不同于解析几何、微分学及积分学这三种著名的计算学科的历史，后者是由它的创始人——费尔马、笛卡儿、牛顿、莱布尼茨及其他学者所亲手奠立的，在进一步的蓬勃发展过程中，甚至有时是用大量的新篇章来补充的时候，它们本来面目在原则上却只有较少的改变。

一、早期的代数——用于计算

在古代，为了解决某些种类的数学问题而找到的任何法则都是用语句把它记下来，因为那时字母表示法还没有发明。“代数”这个字本身是由九世纪的花刺子模学者的最重要的著作的名称产生的。这个学者叫做穆罕默德·阿里·花刺子模。


图 1 穆罕默德·阿里·花刺子模

在他的著作里产生了第一个解一次及二次方程的一般性法则。然而字母表示法的引进通常是和维耶特的名字相联系的，他不仅用字母表示未知数，并且开始用字母表示给定的量，笛卡儿对于字母表示法的发展也做了不少工作，于是通常的数也可用字母表示。从这个时候开始，实际上把代数看成是关于字母计算，关于由字母构成的公式的变换以及关于代数方程等等的科学，它与算术的不同在于算术永远是对具体数字的运算。仅仅从这以后，甚至很复杂的数学想法都易于加以观察和了解，因为在审视字母的式子以后，在大多数的情况下都能够从它上面看出问题的结构及规律，并且能够容易地加以变换，在那时，整个数学，无论是几何学还是无穷小分析都被叫做代数学，这就是关于代数学的第一个观点，也就是所调维耶特的观点，它特别明显地表现在有名的《代数学引论》一书中，这本书是俄罗斯科学院著名的欧拉院士在十七世纪六十年代写成的，它距离现在已有 200 年了（编者注：从上世纪去看）。

欧拉把代数定义成各种量的计算的理论。

他的书的第一部分包含有关于有理整数，通常的分数，二次及三次方根的计算的理论，对数，级数的理论，多项式的计算理论，牛顿二项式的理论及其应用；在第二部分里包含有一次方程及一次方程组的理论，二次方程的理论以及用根号解三次与四次方程的理论，并且那里面还有各种整数不定方程的解法这类广泛的题材，例如，证明了费尔马方程 x^3+y^3=z^3 不可能有整数解 x，y，z 。


图 2 莱昂哈德·欧拉

二、代数学的发展——代数方程理论

在十八世纪末年及十九世纪初年，代数学中的问题之一，即代数方程的解法问题渐渐地被人认为是中心问题。这个问题的根本困难在于一个未知数的 n 次代数方程



的解法，这件事的发生是由于这个问题对于整个数学的重要性以及它的应用，同时也由于大多数与它相联系的理论的证明的深刻性和困难性。

一般性的公式   是人人都知道的，任意的二次方程就是借助于它而解决的。十六世纪的意大利代数学家求出了解三次及四次方程的一般法则，这个法则与上述公式类似，但是却复杂得多，然而对于更高次方程在这件事上的进一步研究却遇到了不可克服的困难。十六、十七、十八以及十九世纪初年的最伟大的数学家们（塔尔塔里雅、卡尔丹、笛卡儿、牛顿、欧拉、达朗贝尔、奇尔恩豪斯、裴蜀、拉格朗日、高斯、阿贝尔、伽罗华、罗巴切夫斯基、斯图谟等等）创造了与这个问题有关的大规模的复杂理论。在十九世纪中叶，谢尔的两卷代数问世了，在这部书里面代数已经定义成为代数方程理论了（这在当时是一个创举，因为在这部书中第一次叙述了代数方程理论的顶峰一一伽罗华理论）。这就是关于什么是代数的第二个观念。

在上一世纪的后半期，由伽罗华的有关代数方程理论的想法出发，群论和代数数论（俄罗斯数学家佐洛塔辽夫在它们的创立中起了巨大的作用）深刻地发展了。


图 3 伽罗华

在第二个时期内，作为与代数方程解法问题相关联，同时也与解析几何中所研究的高次代数流形理论相关联的内容，行列式与矩阵的理论，二次型及线性变换的代数理论，特别是不变量的理论等代数工具在各种目的下发展起来了。在几乎整个十九世纪的后半期内，不变量理论是代数研究的中心之一，在这个时期内群论及不变量论的发展也对几何的发展起了重大的影响。

三、近世代数——研究各种代数系统

从根本上说，关于什么是代数的第三个观点是与下述的情况相关联的。那就是在上一世纪的后半期内，开始在力学、物理学以及数学本身里越来越频繁地研究到的一些对象，对于这些对象我们很自然地就要考虑它们的加法及减法运算，有时也考虑乘法和除法，然而这些运算满足一些不同于有理数的其他规律。

我们曾经谈到过向量，至于具有其他运算规律的各种形式的量，我们只能在此说出名字，即矩阵、张量、旋量、超复数等等，所有这些量都是用字母表示的，但是不同形式的量的运算规律也有所不同。如果对于某种对象（用字母表示）的某个集合，给出了一些运算以及这些运算所满足的规律（法则），那末我们就说给出了某一个代数系统。第三个关于什么是代数的观念是说：代数的目的是研究各种代数系统，这就是所谓的公理化的或抽象的代数。它的抽象是由于对所考虑的代数系统是用字母表示，重要之点仅仅是在所考虑的系统里运算满足什么样的公理（规律）。其所以称它为公理化的，是由于使它只服从作为它的基础的那些公理。于是这就回到了第一个（维耶特的）关于什么是代数的观点，即代数是字母计算学的观点，但是已经上升到更高级的形态了。这里对于字母的了解是相同的，重要的事情仅仅是作用于字母的运算所满足的那些规律，并且有趣的是这样的代数系统无论就数学本身或是在它的应用里都具有巨大的意义。

前一时期所累积的大量的代数内容被认为是创造近代抽象代数的事实基础。

二十世纪三十年代里，范·德·瓦尔登的著名的教科书《近世代数》出版了。它在阐述关于什么是代数的第三个观念上起了巨大的作用。库洛什在同一方面也写了一本代数教科书。在近代数学及其应用方面，代数方法的意义在二十世纪近几十年来是强有力地增加了。

1 第一，技术需要的增加要求对一些数学分析的困难问题求出数字的解答，而这件事通常仅在将这些问题代数化以后才有可能；这样也就构成了新的代数问题，有时甚至是困难的问题。

2 第二，一些分析方面的问题，在开始应用代数的方法以后，变成明显的和容易理解的，这些方法是建立在一次方程组理论的深刻推广（对于无穷多的情形）的基础上的。

3 最后，代数的高深部分在近代物理中找到了应用，即量子力学的基本概念是借助于复杂的并且不初等的代数对象表达的。同样，它在二十世纪里对于几何（拓扑学及李群的理论）也有深刻的应用。

来源：数学经纬网