趣题分享：已知实数 a,b,c 满足 abc≠0 ，a+b+c=0 ，计算 a^2/(bc)+b^2/(ca)+c^2/(ab)

elim

题：设 \(abc\ne 0,\;a+b+c = 0.\) 计算 \(\small\dfrac{a^2}{bc}+\dfrac{b^2}{ca}+\dfrac{c^2}{ab}.\)

Nicolas2050

solution:
(非零实数abc满足a+b+c=0)

elim

Nicolas2050 发表于 2022-7-3 08:15
solution:
(非零实数abc满足a+b+c=0)

楼上 Nicolas2050 的解很好！已收藏.

另一个有趣的解法：由题设及恒等式
\(a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\)
得 \(a^3+b^3+c^3 = 3abc.\) 可见 \({\small\displaystyle \frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}}=3\)

luyuanhong

楼上 Nicolas2050 和 elim 的解答都很好！已收藏。

波斯猫猫

题：已知实数 a,b,c 满足 abc≠0 ，a+b+c=0 ，计算 a^2/(bc)+b^2/(ca)+c^2/(ab)。

思路：设k=a^2/(bc)+b^2/(ca)+c^2/(ab)，则kabc=a^3+b^3+c^3，

即kabc=a^3+b^3-(a+b)^3=-3ab(a+b)=3abc. 故k=3.

luyuanhong

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