“几何”从何而来？

luyuanhong

“几何”从何而来？

好玩的数学 2022-07-03 07:00 发表于江西

以下文章来源于包彦禹老师 ，作者包彦禹老师

没有人确切知道几何从什么时候开始！

远古时代，人类自从走出洞穴从事生产活动，便有了图形概念。人们推测，日出、日落，太阳和地平线给了人们最初的图形形象——圆和直线。



由于建造住所、制造工具的需要，三角形、四边形、圆等图形的认识就已开始。原始的文明孕育了众多图形概念，慢慢的，图形的认识日渐丰富。原始的农耕文明促进了几何的发展，有了更多的测量需要，四大文明古国留存了许多人类关乎几何的踪迹。长江流域的河姆渡人建造房屋，幼发拉底河、底格里斯河流域的苏美尔人构造城邦，尼罗河流域的古埃及人丈量泛滥的土地，印度河流域的古印度人建造庙宇，人们就能将图形的认识应用到生活中，几何学已然萌芽。



留存的《周髀算经》、古巴比伦泥板、《莱因德纸草书》和《绳法经》提供了强有力的证据。



一  华夏祖先的图形认识

1973 年夏天，浙江余姚的农民建设排涝工程时，发现了距今 7000 多年前河姆渡遗址。



出土了大量的木建造遗迹、陶器、石器、玉器、木器。



这里的木构建筑遗迹沿小山坡呈扇形分布，很有规律。



木构件大多是榫卯结点，能够建筑这样的房屋，制造如此漂亮实用的陶器，人们一定熟知某些几何知识。



1955 年发掘的西安半坡遗址，这里出土的彩陶上就有多种几何图形，包括平行线、三角形、圆、矩形、菱形等。



有着直接描述的是中国古代数学典籍《周髀算经》，开篇就记载有周公见商高时一段对话。



昔者周公问于商高曰:“窃闻乎大夫善数也，请问古者包牺立周天历度。夫天不可阶而升,地不可得尺寸而度,请问数安从出?”

商高曰“数之法出于方圆，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。既方其外，半之一矩，环而共盘。得成三、四、五，两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所由生也。”

对话发生在公元前 1000 多年的周朝，周公（周文王姬昌四子，周武王的弟弟姬旦）是主张以礼治国的典范，他请教商朝的旧贵族商高一些数学问题时，周公问：“我早已听说大夫您很擅长数学，伏羲建立了天地历法，可是天空没有台阶可供攀登，大地也无法用尺子度量，请问那些数据是怎样得来的？”商高的回答是：“数学的方法出自于圆和方，圆可由长方形推导而来，长方形可用直角曲尺画出来，它的面积计算可参照九九乘法口诀。”



华夏祖先相信“天圆地方”，工匠口诀“径一周三”是长时期流传的实践经验，近似的将圆周率看为三，即直径为一的圆周长为三，而边长为一的正方形周长为四，“三”和“四”便有“圆”和“方”的寓意。如果将长方形沿对角线折叠可得两个直角三角形，假如较短的直角边长为三，较长的直角边长为四，那么斜边长就等于五。



（由于弯曲手臂或大腿往往会得到直角（矩），故将小腿或前臂称之为“勾”，大腿或后臂称之为“股”，后指直角三角形的较短直角边和较长直角边，斜边长则称之为“弦”。）



某种意义上，“勾三股四弦五”是最小的一组勾股数（3，4，5），也是唯一一组连续整数的勾股数。从中不难看出，3000 多年前的周朝，华夏祖先便知晓圆周率，熟知圆和矩形的面积计算，掌握了比较丰富的几何知识。

商高进而提到，公元前 2100 多年的大禹治水，就积累了大量的数学知识，包括用“矩”的经验，卷二“用矩之道”中，载有“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远”。

如“偃矩以望高”，指出大禹治水时测量高地的方法，用现代数学语言可表述为：



如图，从 A 处仰视高处的一点 E ，将矩（直角曲尺）的一条直角边沿 AC 平放，视线与曲尺的另一边相交于 B ，由A C/AD=CB/DE ,可得点 E 的高度 DE 可利用以下关系计算：



不必爬上高地，测得 BC,AC,AD ，即可计算出 DE 的长度。

将曲尺下垂俯视，同样可得低处深度。商高提及的相似勾股形原理，足以表明，相对复杂相似原理已经能够运用到生产实践之中，我们有理由相信更早时期，人们便已掌握丰富的几何原理。

更难能可贵的是，在卷二的一段“陈子对话”中，记录有“句（通“勾”）股各自乘，并而开方除之”，一般化的描述了勾股定理，其意为：



据钱宝琮先生考证，陈子可能生活在公元前 6 世纪，短短十一字，却有着金子般的尊贵，表明华夏祖先早已熟知勾股定理的一般化表达。

二  古巴比伦的图形认识

公元前 3000 多年，在古老的美索不达米亚平原，生活在幼发拉底河与底格里斯河流域的苏美尔人建设了最早的城市，平和的拉伽什国王古地亚雕像见证了这一历史。



雕像的膝盖上放着一块泥板，上面刻着拉伽什宫殿的平面图，一把设计精巧的刻度尺置于它的前方。没有相似的认识，他们是无法描绘出城邦地图的，同样不难推断，古巴比伦人认识几何图形的性质应该更早。



包括传说中的建筑奇迹通天塔和空中花园，有迷恋古巴比伦文明的学者认为，几何起源于古巴比伦的测量师，房屋建造和土地的测量催生了这一职业，是测量师推动了几何的发展，进而诞生了几何学，佐证这一观点的还有古巴比伦留存的建筑遗址以及发掘的 300 多片关于数学的泥板。



三  古埃及的图形认识

但古希腊历史学家希罗多德（Herodotus，约公元前 484 - 前 424）却认为几何诞生于埃及。那时，每年 6 月中旬，原本干涸的尼罗河会迎来洪水冲击，泛滥会持续 4 个月，直到 10 月结束，接下来的 8 个月就是播种和收割季节，法老们会根据洪水的高度和所持有土地的面积评估土地税收，他写道：“尼罗河每年涨水后，需要重新确定农民的田地边界，从而产生了几何学”。（负责测量的人被称为 Harpedonopta ，意指“拉紧绳子的人”，也叫“司绳”,他们主要的测量工具就是绳子，把一条直线看作一段拉紧的绳子，希腊文的斜边英文 Hypotenuse ，原意就是“拉紧”）



建于公元前 2500 多年，从四面看都呈等腰三角形的胡夫金字塔，位于尼罗河西边，能够建造如此宏伟的建筑，表明古埃及人已经掌握丰富的图形知识！



聪明的古埃及人用尼罗河三角洲的一种植物茎髓切成薄片，压干后连在一起制成纸莎草纸，《莱因德纸草书》和《莫斯科纸草书》便是用芦苇茎在莎草纸上书写象形文字而成，书记官阿默斯于公元前 1650 年左右抄写了《莱因德纸草书》，书中主体部分由 85 个数学问题组成，其中问题 41─46 是体积问题，48─55 题为面积问题，其中有圆、正方形、等腰三角形、等腰梯形等，他们已经知道圆柱体的体积是底面积乘高，纸草书的记载验证了埃及人在几何方面的成就。



四  古印度的图形认识

印度次大陆上最早出现的文明是印度河流域文明，由于古老的达罗毗荼象形文字很难解读，且以零星的石刻为主，至今还未得到破解，因此我们无法知晓古印度较早时期出现过哪些几何方面研究。



大约在公元前 1000 年，印度人戈涅西已经知道圆的面积等于半周长乘以半径。至公元前 6 世纪左右，以祭坛的建造问题为核心的婆罗门教经典《绳法经》（Sulbasutras ，测绳的法则或祭坛建筑法式，《吠陀经》附录的一部分，Sulba 绳索）中开始有了记载，祭坛形状要求设计为面积成整数比的正方形或等积的多边形，记有“正方形的对角线为边生成的正方形两倍于原正方形的面积”这样的零碎几何原理，公元前 5 世纪的《阿耶波多历算书》 给出了周长与直径的比率为：“一百多四，乘以八，另外再六万两千，这大约就是一个直径为二万的圆的周长”，即 62832≈20000×3.1416 ，足以说明古印度人已经懂得利用图形进行面积转换，知晓圆周率的近似值或勾股定理。



五  几何源于测量

也许是古代埃及留存有较为明确的考据，许多人认为几何起源于古埃及。

尽管没有更早、更确凿的证据让我们可以追寻到几何到底何时起源，起源于何地，关于几何起源话题，还是一团迷雾，有待于我们继续求索！



正是人类对美好生活向往和追求，加上对天空无法抑制的兴趣，产生了测量需要，不同的文明不约而同的开始研究图形及其性质，催生了几何。

几何源于测量，这是一个不争的事实。几何学的英文“geometry”,从希腊语“γεωμετρα”演变而来，“geo”意指“土地”，“metry”则指“测量”，是土地测量的意思，指的是测地术，测量活动是几何学形成的直接原因。



六  古希腊的证明几何学

热衷于探讨事物的本源，是古希腊人的一种生活方式。泰勒斯认为“万物的本源是水”，后来者，来自萨摩斯的毕达哥拉斯认为万物的本源是数，有如《道德经》所云：道生一，一生二，二生三，三生万物。（意指“道”生万物，事物的发生和发展总是从少到多，从简单到复杂的一个过程。）



传说毕达哥拉斯证明了勾股定理（有待考证），熟知正四面体、八面体、十二面体作图，发现音乐的背后也是数学，毕达哥拉斯认为，数乃神的语言，一旦掌握了数的结构，就控制了世界，世界的许多事物都是匆匆过客，唯有数是永恒的。毕达哥拉斯学派一度信徒云集，正是他将几何乃至数学推向一个高潮，让数学开始从测量师的手艺活，真正成为一门独立的学科。



紧接着，哲学家苏格拉底、柏拉图、亚里士多德等渐次登上了这百家争鸣的舞台。

16 世纪意大利画家拉斐尔·桑西于 1510～1511 年创作的一幅壁画《雅典学院》，完美的诠释了那个时期古希腊人在几何包括更多领域的成就。画作打破时空界限，自由开放的把哲学、数学、音乐、天文等大师汇聚一堂。



壁画取材于公元前 4 世纪古希腊哲学家柏拉图举办雅典学院的逸事，左下方那个秃头的老者，便是毕达哥拉斯，正中央是柏拉图和亚里士多德，传说柏拉图学院（Academy ，柏拉图在此度过了生命的最后 40 年，学院存在了 900 年）的门口便挂有“不懂几何者不得入内”的标语，柏拉图认为，不懂得欣赏几何的人，与他们是没有共同语言的。此时的希腊人视几何为思维训练工具，认为几何学极具严谨并且能够锻炼人的头脑，是一门尊贵的学问。



几何俨然成为一个智者的必备修养，柏拉图的分析法、老师苏格拉底的归纳法和学生亚里士多德的“三段论”给演绎推理提供强有力的逻辑工具；亚里士多德将数学规范化，提出矛盾律和排他律，将数学的基本原理区分为公理和公设；学院把几何作图工具严格限定为不带刻度的直尺和圆规，它渗透了古希腊人对事物起点的极简追寻，也体现了他们将圆和直线看作最原始几何图形的认同，柏拉图将数学纳入了哲学范畴。



近似于偏执的极简追寻，使得古希腊人不再满足于不带刻度的直尺和圆规的尺规作图，“单规作图”和“锈规作图”也成为了他们探索的领域，同时也滋生了三大作图难题：“三等分角”、“化圆为方”、“倍立方体”！



画作右下方手执圆规的长者，则是曾在柏拉图学院学习的欧几里得，公元前 300 年，欧几里得通过收集与整理，梳理了公元前 7 世纪以来希腊人几何和数论方面的重大成就，有组织的系统化了几何学，人类数学的不朽巨著《几何原本》问世，成为了一直沿用至今的几何学教科书。



“原本”的希腊文原意是指几何中最重要的定理，它为许多事实提供了严密的逻辑推理，人类第一次架构了演绎数学的公理化体系。《原本》追求的最初假设被规定的异常精炼。对于图形，它从最基本的元素点开始，规定点是没有大小的；无数个点组成了线，线只有长度没有宽度；无数条线平放着组成了面，面只有长度和宽度……欧几里得就是从最初的 23 个定义、五个公理、五个公设（也称公理）出发，通过逻辑推理，证明了 465 个定理（基本上是那个时代的所有几何知识），层层递进的全面描述了二维空间。



我们今天学习的平面几何大多源自《几何原本》，公理化体系叙述的不仅仅是数学知识和方法，更是一种做事方法，提供的是一种系统看待事物的角度，这是我们学习几何的重要意义所在。曾邀请欧几里得客居亚历山大城的埃及托勒密国王，请教欧几里得：“学习几何有没有捷径？”，他答道：“几何无王者之道”。欧几里得主张求知无坦途，反对急功近利，也是我们需要具备的学习态度。



七  欧氏几何的“家丑”

《几何原本》诞生后的 2000 多年来，它始终保持着神圣不可动摇的地位，数学家们相信欧几里得几何是绝对真理，法国数学家笛卡尔和费马创立了解析几何，数与形开始走到了一起，丰富了几何的研究方法，他们相信欧几里得几何是无懈可击的，莱布尼茨、牛顿给自己创立的微积分也披上了欧几里得的外衣，哲学家康德甚至认为欧几里得几何是唯一的，也是必然的。



事实上，从《几何原本》诞生之日起，就有一个问题困扰着人们，最后一条公设，也就是著名的平行公设，也叫做第五公设——过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。有人怀疑它不像前 4 条公设那么简单，更像一个定理，被法国数学家达朗贝尔戏称为“几何学的家丑”，但“家丑”还是外扬了，最终诞生了非欧几何。



因为第五公设的漏洞在于，假如不是有且只有一条，而是有两条或两条以上呢？再者，压根就不存在平行线呢？先后产生了罗氏几何和黎曼几何。



1830 年前后，俄罗斯数学家罗巴切夫斯基就是用另一个平行公理代替了欧几里得的第五公设，即“在一个平面上，过已知直线外一点至少有两条直线与该直线不相交”，演绎出一系列全无矛盾的结论，构建了另外一座靓丽的几何学大厦。



在推演过程中，罗巴切夫斯基得到一连串古怪、非常不合乎常理的命题，往往与我们所习惯的直观有矛盾，一开始并没有像欧氏几何那样容易被接受，但后来人们发现，罗氏几何在研究宇宙空间或原子核世界的时候，比欧氏几何更符合客观实际，并且在医学上有独特的应用。

1854 年，德国数学家黎曼又提出了另一种几何。他用如下公理替代第五公设：“同一平面上的任何两直线一定相交”，否定平行线的存在，人们把这种几何称为椭圆几何或黎曼几何。物理学家爱因斯坦广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。



第五公设既不能说是正确也不能说是错误，它所概括的是一种情况，显然，欧氏几何并非无懈可击，关于开始的 23 个定义描述、连续性问题、以及许多不完全的证明，但毫无争议的是，它是 2000 年来被膜拜为严密证明的理想典范。

无论是黎曼几何还是罗氏几何，它们都延续了公理化的几何体系构建，引起了人们对数学本质的深入探讨，自从欧几里得几何只是交出了绝对的统治权，解析几何、微分几何、射影几何、非欧几何、拓扑、几何基础……接憧而来，插上了自由的翅膀，几何迎来了更自由的发展空间，应用领域越来越广泛，内涵也愈发丰富。

正如康托尔所言：数学的本质是自由！



——  END  ——

文章源自数学科教片《几何的诞生》脚本，影片系 UIC（北京师范大学—香港浸会大学联合国际学院）数学体验馆委托拍摄。

完成本文及视频的主要参考文献如下：

[1][美]霍华德·伊芙斯（Howard Eves）.数学史概论（第六版）[M].哈尔滨工业大学出版社，2017：7-9，39-55,73-91,140-153.
[2][古希腊]欧几里得.几何原本[M].章洞易译，天津出版传媒集团，2020：2-7.
[3]程贞一 闻人军译注.周髀算经译注[M].上海古籍出版社，2021：1-17.
[4][以色列，瑞士]Eli Maor，Eugen Jost.数学：几何印象[M].机械工业出版社，2017：14-17.
[5]蔡天新.数学家的故事[M].中信出版集团，2021：80-85.
[6]汪晓勤，HPM:数学史与教育[M].科学出版社，2017:167-169.
[7]徐方品，张红，宁锐.中学数学简史[M].科学出版社，2019：1-57.
[8][美]卡尔·B.博耶（Carl B.Boyer）.数学史（修订版）[M].中央编译出版社，1991：1-115.
[9][英国]理查德·曼凯维奇.数学的故事[M].海南出版社，2018：176-187.
[10]钱宝琮，中国数学史[M].商务印书馆，2019:15-16.
[11]蔡天新，数学简史[M].中信出版集团，2018:1-99.
[12][以色列]Eli Maor.毕氏定理四千年[M].三民书局，2017：5-36