已知 ΔABC 中，AB=AC，E 是三角形内一点，BE=AB，∠EBC=∠EAC，求 ∠BCE

ccmmjj126

福建中考压轴题，看看有没有奇思妙想法？、

王守恩

角格点问题。

\(1=\frac{\sin∠EAC\sin∠EBA\sin∠ECB}{\sin∠EAB\sin∠EBC\sin∠ECA}\)

\(=\frac{\sin(a)\sin(60^\circ-2a)\sin(x)}{\sin(60^\circ+a)\sin(a)\sin(60^\circ-x-a)}\)

\(=\frac{\sin(2(30^\circ-a))\sin(x)}{\cos(30^\circ-a)\sin(60^\circ-x-a)}\)

\(=\frac{2\sin(30^\circ-a)\sin(x)}{\sin(60^\circ-x-a)}\ \ \ (A)\)

\(=\frac{2\sin(30^\circ-a)\sin(30^\circ)}{\sin(60^\circ-30^\circ-a)}=1\)

\((A)\ 式中，只有当\ x=∠BCE=30^\circ时有解，a=∠EBC=∠EAC可以是任意数。\)

tmduser

也可以从几何关系推导出\(\angle BCE=30\circ\)

luyuanhong

楼上 tmduser 的解答很好！已收藏。

ccmmjj126

tmduser的证明很好。我提供一个不需要四点共圆的证明。

luyuanhong

楼上 ccmmjj126 的解答很好！已收藏。

王守恩

王守恩 发表于 2022-7-1 21:03
角格点问题。

\(1=\frac{\sin∠EAC\sin∠EBA\sin∠ECB}{\sin∠EAB\sin∠EBC\sin∠ECA}\)

换汤不换药。

\(1=\frac{\sin∠EAC\sin∠EBA\sin∠ECB}{\sin∠EAB\sin∠EBC\sin∠ECA}\)

\(=\frac{\sin(30^\circ-b)\sin(2b)\sin(x)}{\cos(b)\sin(30^\circ-b)\sin(b+30^\circ-x)}\)

\(=\frac{2\sin(b)\sin(x)}{\sin(b+30^\circ-x)}\ \ \ (A)\)

\(=\frac{2\sin(b)\sin(30^\circ)}{\sin(b+30^\circ-30^\circ)}=\frac{\sin(b)}{\sin(b)}=1\)

\((A)\ 式中，只有\ x=30^\circ时有解(b\ 可以是任意数)。\)

王守恩

王守恩 发表于 2022-7-2 07:00
换汤不换药。

\(1=\frac{\sin∠EAC\sin∠EBA\sin∠ECB}{\sin∠EAB\sin∠EBC\sin∠ECA}\)

换汤不换药。

\(1=\frac{\sin∠EAC\sin∠EBA\sin∠ECB}{\sin∠EAB\sin∠EBC\sin∠ECA}\)

\(=\frac{\sin(30^\circ-b)\sin(2b)\sin(x)}{\cos(b)\sin(30^\circ-b)\sin(b+30^\circ-x)}\)

\(=\frac{2\sin(b)\sin(x)}{\sin(b+30^\circ-x)}\ \ \ (A)\)

\(=\frac{2\sin(b)\sin(30^\circ)}{\sin(b+30^\circ-30^\circ)}=\frac{\sin(b)}{\sin(b)}=1\)

\((A)\ 式中，只有\ x=30^\circ时有解(b\ 可以是任意数)。\)

没人点赞，补充一下。

\(2*∠ABC=180-∠BAC\)

\(2*(∠EBC+2b)=180-(90-b+∠EBC)\)

\(∠EBC=30-b\)

王守恩

王守恩 发表于 2022-7-1 21:03
角格点问题。

\(1=\frac{\sin∠EAC\sin∠EBA\sin∠ECB}{\sin∠EAB\sin∠EBC\sin∠ECA}\)

2楼，角格点问题。

\(1=\frac{\sin∠EAC\sin∠EBA\sin∠ECB}{\sin∠EAB\sin∠EBC\sin∠ECA}\)

\(=\frac{\sin(a)\sin(60^\circ-2a)\sin(x)}{\sin(60^\circ+a)\sin(a)\sin(60^\circ-x-a)}\)

\(=\frac{\sin(2(30^\circ-a))\sin(x)}{\cos(30^\circ-a)\sin(60^\circ-x-a)}\)

\(=\frac{2\sin(30^\circ-a)\sin(x)}{\sin(60^\circ-x-a)}\ \ \ (A)\)

\(=\frac{2\sin(30^\circ-a)\sin(30^\circ)}{\sin(60^\circ-30^\circ-a)}=\frac{\sin(30^\circ-a)}{\sin(30^\circ-a)}=1\)

\((A)\ 式中，只有当\ x=∠BCE=30^\circ时有解，a=∠EBC=∠EAC可以是任意数。\)

没人点赞，补充一下。

\(记等腰三角形ABE的3个角为60-2a,60+a,60+a\)

\(则等腰三角形ABC有\)

\(2*∠ABC=180-∠BAC\)

\(2*(∠EBC+60-2a)=180-(60+a+∠EBC)\)

\(∠EBC=a\)