边长为 4 的正方形绕一顶点旋转 45°，两正方形相交处成一个四边形，求其内切圆的半径

dodonaomikiki

【趣味题】求这个圆的半径！  这个圆被两个正方形夹住，好玩



追求巧法，不追求速度吧！
反正，
我们这里不是考试，
时间会有什么来不及

elim

易见
(1) 小圆过正方形的中心. 故有方程 \((1+\sqrt{2})r=2\sqrt{2}\)
(正方形顶点到中心的距离的两种表示)。于是所求小圆半径是
\(\qquad r={\small\dfrac{2\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}}=2(2-\sqrt{2}).\)
(2) 正方形对角线之半加上小圆半径等于正方形边长。所以直接有
\(\qquad r=2(2-\sqrt{2})\)

luyuanhong

楼上 elim 的解答很好！已收藏。

下面是我的另一种解法：

波斯猫猫

半径为r的小圆就是腰为4的等腰直角三角形的内切圆。而该三角形的面积满足，

（4+4+4√2）r/2=16/2，解得r=2(2-√2).

王守恩

luyuanhong 发表于 2022-6-29 13:59
楼上 elim 的解答很好！已收藏。

下面是我的另一种解法：

\(\displaystyle\frac{r}{4-r}=\frac{CD}{4},\ \ \ \frac{CD}{4-CD}=\frac{4}{4\sqrt{2}}\)

\(或：\frac{r}{4-r}=\frac{CD}{4},\ \ \ CD^2+CD^2=(4-CD)^2\)

\(\displaystyle或：r=\frac{面积}{s}=\frac{4*4/2}{(4+4+4\sqrt{2})/2}\)

dodonaomikiki

愚蠢的驴子 发表于 2022-6-29 14:40

也是很好的办法！