在 ΔABC 中，AD⊥BC 交 BC 于 D，AD=BC=1，求证：ΔABC 至少有一条边的长度为无理数

llshs好石

题: 在△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AD=BC=1. 求证：△ABC至少有一条边的长度为无理数.

llshs好石

和这个命题等价

ataorj

1>k>0,x=√(1+kk),y=√(1+[1-k]^2),则x,y至少一个为无理数
证明，首先y=√(xx+1-2k)，采用反证法，假设x,y为有理数
1) 当k(后文中1-k情形从略)为无理数时,则y=√(某种有理数-2k)=√某种无理数，其显然仍是无理数。
2) 当k为有理数时
设m,n,p,q都是正整数,m和n互质,p和q互质,m<n>1,p<q>1,
假设k=m/n,则xx=1+mm/nn,
yy=2+mm/nn-2m/n，又设y=p/q,则
pp/qq=2+mm/nn-2m/n
ppnn=2qqnn+mmqq-2mqqn  ...(1)
其四个单项式，qq显然是公共因数，而p和q互质，所以从"ppnn"可知n必有因数q。
同理，只有"mmqq"中没有"n",而m和n互质，又由于qq已是公共因数(是必定“应”消去的项)，所以"mmqq"中无法在有公共因数qq下再另外有公共因数n。所以(1)不能成立。
证毕