数学中国

 找回密码
 注册
搜索
热搜: 活动 交友 discuz
查看: 1536|回复: 7

求证:函数 f(x)=ax^2+bx+c 是奇函数的充要条件是 a=c=0 ,且 b≠0

[复制链接]
发表于 2022-6-28 18:40 | 显示全部楼层 |阅读模式
求证:函数f(x)=ax^2+bx+c是奇函数的充要条件是a=c=0,且b≠0。
发表于 2022-6-28 18:45 | 显示全部楼层
左到右
1 f(0) =0 ->c=0
2 f(a)=-f(-a)  ->a=0
3 b不等于 0 不需要  吧??
f(x) =0也是奇函数吧??
右到左

a=0 c=0
f(x)=bx ->是奇函数 (还真的不好证明  只能说显而易见)
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2022-6-28 19:32 | 显示全部楼层
f(x)=0可称为既奇又偶的函数。

本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册

x
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2022-6-29 20:00 | 显示全部楼层
本帖最后由 波斯猫猫 于 2022-6-30 08:18 编辑

求证:函数f(x)=ax^2+bx+c是奇函数的充要条件是a=c=0,且b≠0。

证 充分性:若a=c=0,且b≠0,则f(x)=bx,且对任意x∈(-∞,+∞),都有f(-x)=b(-x)=-f(x),

即f(-x)=-f(x)。故f(x)=bx是奇函数。

必要性:若(x)=ax^2+bx+c是奇函数,则对任意x∈(-∞,+∞),都有f(-x)=-f(x),

即f(-x)=a(-x)^2+b(-)x+c=ax^2-bx+c,-f(x)=-ax^2-bx-c,故ax^2+c=0恒成立。

取x=2与x=1,有4a+c=0,a+c=0,解得a=c=0,故f(x)=bx,且b≠0(若b=0,则f(x)≡0。此

时f(x)既是奇函数又是偶函数)。从而,f(x)=ax^2+bx+c是奇函数时,有a=c=0,且b≠0。
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2022-6-30 06:57 | 显示全部楼层
数学逻辑没学好这是,奇函数和偶函数本来就不是非此即彼的概念。
f(x)=0既是奇函数又是偶函数到你这儿被理解成了既不算奇函数
又不算偶函数。
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2022-6-30 08:05 | 显示全部楼层
本帖最后由 波斯猫猫 于 2022-7-1 07:34 编辑

函数按奇偶性可分为四类:
1 奇函数,
2 偶函数,
3 既是奇函数又是偶函数,
4 既不是奇函数也不是偶函数(非奇非偶函数)。
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2022-6-30 08:15 | 显示全部楼层
若f(x)既是奇函数又是偶函数,则f(x)=0。事实上,对任意x∈(-∞,+∞),

都有f(-x)=-f(x),且f(-x)=f(x),故-f(x)=f(x),或2f(x)=0。即f(x)=0。
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2022-6-30 17:56 | 显示全部楼层
函数f(x)=ax^2+bx+c是偶函数的充要条件是什么?并证明它的充分性和必要性。
回复 支持 反对

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

Archiver|手机版|小黑屋|数学中国 ( 京ICP备05040119号 )

GMT+8, 2024-3-29 21:58 , Processed in 0.113281 second(s), 16 queries .

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2020, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表