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发表于 2022-6-29 20:00
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本帖最后由 波斯猫猫 于 2022-6-30 08:18 编辑
求证:函数f(x)=ax^2+bx+c是奇函数的充要条件是a=c=0,且b≠0。
证 充分性:若a=c=0,且b≠0,则f(x)=bx,且对任意x∈(-∞,+∞),都有f(-x)=b(-x)=-f(x),
即f(-x)=-f(x)。故f(x)=bx是奇函数。
必要性:若(x)=ax^2+bx+c是奇函数,则对任意x∈(-∞,+∞),都有f(-x)=-f(x),
即f(-x)=a(-x)^2+b(-)x+c=ax^2-bx+c,-f(x)=-ax^2-bx-c,故ax^2+c=0恒成立。
取x=2与x=1,有4a+c=0,a+c=0,解得a=c=0,故f(x)=bx,且b≠0(若b=0,则f(x)≡0。此
时f(x)既是奇函数又是偶函数)。从而,f(x)=ax^2+bx+c是奇函数时,有a=c=0,且b≠0。 |
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