[原创] 数学多次方程计算( 漂亮有趣的曲线）

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数学家都要知道的定理：阿贝耳定理

五次以及更高次的代数方程没有一般的代数解法（即由方程的系数经有限次四则运算和开方运算求根的方法）.

       阿贝尔首次作出了一般的五次方程用根式不可解的正确证明．更详细的证明，于1826年发表在克雷尔杂志第一期上．题目为“高于四次的一般方程的代数解法不可能性的证明”．在这篇论文中，阿贝尔讨论并修正了鲁菲尼论证中的缺陷．鲁菲尼的“证明”缺乏域的概念，所以不可能在由已知方程的系数所确定的基础域及域的扩张下进行工作．另外，鲁菲尼“证明”中还用到了一个未加证明的关键性命题，后称阿贝尔定理．
     该定理说，如果一个代数方程能用根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式，一定可以表成方程诸根及某些单位根的有理函数．阿贝尔就是应用这个定理证明高于四次的一般方程不能有根式解的．上面所说的阿贝尔定理，也就是“置换群”的思想。他在进一步思考哪些方程（比如x^n-1=0)才可用根式解的问题的时候，阿贝尔证明了下述定理：对于一个任意次的方程，如果方程所有的根都可用其中的一个根有理地表出(我们用x表示)，并且任意两个根Q(x)与Q1(x)(这里Q，Q1均为有理函数)，满足关系QQ1(x)=Q1Q(x)，那么所考虑的方程总是代数可解的．或者说，根xi=Q1(Xi)，Q2(Xi)，…，Qn(Xi)是根x1，x2，…，xn的一个置换．方程根进行这样置换的个数是n．阿贝尔考虑并证明了这些置换的性质，这就是“置换群”。
       阿贝尔遗作中有一篇值得深入研究的未完成的手稿，即“关于函数的代数解法”(Sur la résolution algébrique des fonctions，1839)．文中叙述了方程论的发展状况，重新讨论了特殊方程可解性的问题，为后来E·伽罗瓦(Galois)遗作的出版开辟了道路．在前言部分，阿贝尔暗示出一种重要的思维方法，他认为解方程之前，应首先证明其解的存在性，这样可使整个过程避免“计算的复杂性”．在代数方程可解性理论研究中，他还提出了一个研究纲领，就是在他的工作中需要解决两类问题：一是构造任意次数的代数可解的方程；二是判定已知方程是否可用根式求解．他试图全部刻画可用根式求解的方程的特性．但因早逝而没能完成这个工作，他只解决了第一类问题．
     几年后，伽罗瓦接过他的工作，用群的方法彻底解决了代数方程的可解性理论问题，从而建立了现在所谓的伽罗瓦理论．19世纪之前的300年间，数学家们一直为证明一元四次以上的方程是否有解而忙碌着，可惜他们不是望而却步，就是半途而废，没有一位能揭开这个结。1818年，挪威一位16岁的阿尔贝，在研究了前人的有关这一问题的大量资料后，坚定地对他的老师说：“让我来解答这一历史难题吧，我能证明四次以上的方程是否有解。”他凭着自信，聪明和勤奋，花了六年的时间，给了历史一个圆满的回答：一般高于四次的方程没有代数解。这就是著名的阿尔贝—鲁菲尼定理.

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方程 (1)

x^6
-4*b*x^5
+((-2*l^2)+3*c^2+6*b^2-2*a^2)*x^4
+(4*b*l^2-8*b*c^2-4*b^3+4*a^2*b)*x^3
+(l^4+((-4*c^2)-2*b^2-2*a^2)*l^2+3*c^4+(8*b^2-4*a^2)*c^2+b^4-2*a^2*b^2+a^4)*x^2
+(4*b*c^2*l^2-4*b*c^4+(4*a^2*b-4*b^3)*c^2)*x
+c^2*l^4+((2*b^2-2*a^2)*c^2-2*c^4)*l^2+c^6+(2*b^2-2*a^2)*c^4+(b^4-2*a^2*b^2+a^4)*c^2
=0.   

方程 (2)

x^5
-4*b*x^4
+(c^2+(4*b-4*a)*c+8*b^2-4*a^2)*x^3
+((-4*b*c^2)+(8*a*b-8*b^2)*c-8*b^3+8*a^2*b)*x^2
+((4*b-4*a)*c^3+(4*b^2-4*a^2)*c^2+(8*b^3-8*a*b^2)*c+4*b^4-4*a^2*b^2)*x
+(8*a*b-8*b^2)*c^3+(8*a^2*b-8*b^3)*c^2
=0

对方程（1）(2) 进一步进行虚数或复数系数的验证 看看有没有问题 若无问题两方程会有相同项

取：a=2i,b=1,c=0, l^2=-3 （六变五需：l=+-(c+-√(a^2-b^2 )) l^2=a^2-b^2=-2-1=-3


(1): x^6-4*x^5+32*x^4-56*x^3+52*x^2=0

(2):x^5-4*x^4+24*x^3-40*x^2+20*x=0

两方程不同项 看来a，b 不可取虚数或复数。l可取虚数，前面已验证。

方程的根一般可为复数，但多次方程统统为实系数方程，这个要确定。


[a = 1, b = 3, c = 0, l = sqrt(-8)]   l取虚数验证

(1)  x^6 - 12*x^5 + 68*x^4 - 192*x^3 + 288*x^2=0


[a = 1, b = 3，c = 0]

(2)  x^5 - 12*x^4 + 68*x^3 - 192*x^2 + 288*x=0

两方程保持一致，l取虚数没有问题........... l取复数的话，会导致方程不是实系数

这样就确定了：abcl（1） 或abc（2）l可为虚数，其他参数均为实数，保证了多次方程为实系数方程。

从而方程做到了自洽和兼容数学现有体系。


这重要一步为生成各种五六次方程提供了重要的基础保障

在这个基础之上就要考虑如何让方程(1) (2)生成 千奇百怪 五花八门的各种多次方程。

解的问题不用考虑太复杂 有原一类数流参数方程大神做支撑 ...........

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（1）（2）最简单的情形，c=0

(3)
x^4
-4*b*x^3
+((-2*l^2)+6*b^2-2*a^2)*x^2
+(4*b*l^2-4*b^3+4*a^2*b)*x
+l^4+((-2*b^2)-2*a^2)*l^2+b^4-2*a^2*b^2+a^4
=0

前面算过（3）（l+b+a；l+b-a；-l+b+a；-l+b-a）为通解

a，b，l 随意取值生成四次方程，l可取虚数。解中也有虚数。

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如a=3，b=4，l=-5
x^4 - 16*x^3 + 28*x^2 + 288*x - 576 = 0
解组为：12, 2, 6, -4
如a=3，b=4，l=-5i
x^4 - 16*x^3 + 128*x^2 - 512*x + 1924 = 0
解组为：1 - 5*I, 1 + 5*I, 7 - 5*I, 7 + 5*I

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观察（3）方程a和l一样也可取虚数。方程仍为实系数。

如a=3i，b=4，l=-5i  
x^4 - 16*x^3 + 164*x^2 - 800*x + 1600 = 0
解组为：（l+b+a；l+b-a；-l+b+a；-l+b-a）

实解：4 - 2*I, 4 + 2*I, 4 - 8*I, 4 + 8*I
经验证，解组正确。

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若令（3）有一半实数解，需a=-+l
如a=7i，b=4，l=-7i  
x^4 - 36*x^3 + 682*x^2 - 6444*x + 22437 = 0
解组为：（l+b+a；l+b-a；-l+b+a；-l+b-a）
实解：9 - 14*I, 9 + 14*I, 9, 9

如a=7i，b=4，l=7i  
x^4 - 36*x^3 + 682*x^2 - 6444*x + 22437 = 0
解组为：（l+b+a；l+b-a；-l+b+a；-l+b-a）
实解：9 - 14*I, 9 + 14*I, 9, 9

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从上面看这一类四次方程的解： 有四个相异实数根，有二个相同实数根 有四个不同复数根

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(3)
x^4 - 4*b*x^3 + (-2*a^2 + 6*b^2 - 2*l^2)*x^2 + (4*a^2*b - 4*b^3 + 4*b*l^2)*x + l^4 + (-2*a^2 - 2*b^2)*l^2 + b^4 - 2*a^2*b^2 + a^4 = 0
l^4 + (-2*a^2 - 2*b^2)*l^2 + b^4 - 2*a^2*b^2 + a^4 =0
l：-a - b, -a + b, a + b, a - b
三次方程为：
（4）
x^3 - 4*b*x^2 + (-2*a^2 + 6*b^2 - 2*(a + b)^2)*x+ (4*a^2*b - 4*b^3 + 4*b*(a + b)^2) = 0
通解：（l+b+a；l+b-a；-l+b+a；-l+b-a）
解为：2*b, 2*a + 2*b, -2*a.  

观察：三个根，一个根为两根之差，一根为两根之和。

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再特殊下去就有二次方程，一次方程了，目前不作研究。