⊙O 直径 AC 交 L 于A,B，⊙B 交 ⊙O 于C,D 交 L 于E，CE,DE 交 ⊙O 于F,G，证：FG=AB

数学小白新

已知：⊙O交直线L于A、B，AC为⊙O直径。⊙B（BC）交⊙O于D，
交L于E。连结CE、DE交⊙O于F、G。
求证：FG=AB

shuxuestar

证明：

数学小白新

shuxuestar 发表于 2022-5-14 01:14
证明：

多谢老师解答。

冗尘.

shuxuestar 发表于 2022-5-14 01:14
证明：

请问可否可以通过小圆圆周角=2x x'=x 直接应用外角定理得到w=x

shuxuestar

冗尘. 发表于 2022-5-14 16:33
请问可否可以通过小圆圆周角=2x x'=x 直接应用外角定理得到w=x

可以。 但是必须知道x'=x ,要做两圆的唯一对称中线才可以得到这一结论。

天山草

用复平面解析几何方法做此题。优点是无须动脑子，交给计算机让它笨笨地算。原题相当于：

圆 O 和圆 B 交于 C、D， AC 是圆 O 的直径， AB 交圆 B 于 E、H， EC 交圆 O 于 F，ED 交圆 O 于 G。 求证 AB = FG。



以 O 圆为单位圆建立复平面坐标系，并令 AC 与实轴重合，设 B 的复坐标为自由变量。

程序文本如下：



程序运行结果：



程序是用 mathematica 软件写的，代码如下。点击“复制代码”即可复制到剪贴板中。

1. Clear["Global`*"]; b = -0.79861 + 0.60187 I;(*由实际图形实测的B点坐标，调试用*)
   
2. Clear["Global`*"];
   
3. \!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) = o = 0; \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) = a = -1;
   
4. \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) = c = 1;
   
5. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) = 1/b; (*建立复平面坐标系，假如 B 点为自由变量*)
   
6. Simplify@Solve[{(z - b) (\!\(\*OverscriptBox[\(z\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)) == (b - c) (\!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\)), (a - b)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)) == (a - z)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(z\), \(_\)]\))}, {z, \!\(\*OverscriptBox[\(z\), \(_\)]\)}];(*求E点坐标*)
   
7. e = b + (b - 1) I;
   
8. \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) = ((b - 1) I + 1)/b;
   
9. Simplify@Solve[{(z - b) (\!\(\*OverscriptBox[\(z\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)) == (b - c) (\!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\)), z \!\(\*OverscriptBox[\(z\), \(_\)]\) == 1, z != c}, {z, \!\(\*OverscriptBox[\(z\), \(_\)]\)}];(*求D点坐标*)
   
10. d = b^2;
    
11. \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) = 1/b^2;
    
12. Simplify@Solve[{z \!\(\*OverscriptBox[\(z\), \(_\)]\) == 1, (e - d)/(\!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\)) == (d - z)/(\!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(z\), \(_\)]\))}, {z, \!\(\*OverscriptBox[\(z\), \(_\)]\)}];(*求G点坐标*)
    
13. g = -I; \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\) = I;
    
14. Simplify@Solve[{z \!\(\*OverscriptBox[\(z\), \(_\)]\) == 1, (e - c)/(\!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\)) == (c - z)/(\!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(z\), \(_\)]\))}, {z, \!\(\*OverscriptBox[\(z\), \(_\)]\)}];(*求F点坐标*)
    
15. f = I b; \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\) = -(I/b);
    
16. Print["AB = ", Simplify[Sqrt[(a - b) (\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\))]]]; Print["FG = ",
    
17. Simplify[Sqrt[(f - g) (\!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\))]]];
    
18. Print["这就证明了 FG = AB "];

复制代码

kanyikan

luyuanhong

楼上 kanyikan 的解答很好！已收藏。

uk702

这道题包含太多的内涵了！似乎还有 FB⊥GD，AB⊥GF，FC⊥GB。

uk702

上述结论的一次性证明如下：

由于 O、B 是两圆的圆心，C、D 是两圆的交点，
故 C、D 关于 OB 对称，∴弧BC的长度=弧BD的长度
∴∠BGC=∠BGD=∠BGE
∴△GBE和△GBC中，BG=BG，BC=BE，∠BGE=∠BGC
∴（这种情况下）△GBE≌△GBC，即BG是 E与C 的对称轴
∴ CE⊥GB
且 ∠CBG=∠EBG =》弧GC长度 = 弧GA长度，
即 G 是弧AGC 的中点，∴ GO⊥AC

∵∠CFB=∠BGD，∴∠CFB+∠FED=∠DGB+∠GEC=90°
∴ GD⊥FB
∴ E 是△GFB的垂心
∴ AB⊥GF，故有 GF∥BC
∴ 弧GC的长度=弧BF的长度
∴弧长AFB=弧长AF+弧长FB=弧长AF+弧长GC=弧长AF+弧长GA=弧长GAF
∴AB=GF