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⊙O 直径 AC 交 L 于A,B,⊙B 交 ⊙O 于C,D 交 L 于E,CE,DE 交 ⊙O 于F,G,证:FG=AB

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发表于 2022-5-13 18:53 | 显示全部楼层 |阅读模式
已知:⊙O交直线L于A、B,AC为⊙O直径。⊙B(BC)交⊙O于D,
交L于E。连结CE、DE交⊙O于F、G。
求证:FG=AB

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发表于 2022-5-14 01:14 | 显示全部楼层
证明:



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 楼主| 发表于 2022-5-14 14:51 | 显示全部楼层

多谢老师解答。
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发表于 2022-5-14 16:33 | 显示全部楼层

请问可否可以通过小圆圆周角=2x x'=x 直接应用外角定理得到w=x
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发表于 2022-5-14 16:37 | 显示全部楼层
冗尘. 发表于 2022-5-14 16:33
请问可否可以通过小圆圆周角=2x x'=x 直接应用外角定理得到w=x

可以。 但是必须知道x'=x ,要做两圆的唯一对称中线才可以得到这一结论。
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发表于 2022-5-14 22:38 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草 于 2022-5-15 06:02 编辑

用复平面解析几何方法做此题。优点是无须动脑子,交给计算机让它笨笨地算。原题相当于:

圆 O 和圆 B 交于 C、D, AC 是圆 O 的直径, AB 交圆 B 于 E、H, EC 交圆 O 于 F,ED 交圆 O 于 G。 求证 AB = FG。



以 O 圆为单位圆建立复平面坐标系,并令 AC 与实轴重合,设 B 的复坐标为自由变量。

程序文本如下:



程序运行结果:



程序是用 mathematica 软件写的,代码如下。点击“复制代码”即可复制到剪贴板中。

  1. Clear["Global`*"]; b = -0.79861 + 0.60187 I;(*由实际图形实测的B点坐标,调试用*)
  2. Clear["Global`*"];
  3. \!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) = o = 0; \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) = a = -1;
  4. \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) = c = 1;
  5. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) = 1/b; (*建立复平面坐标系,假如 B 点为自由变量*)
  6. Simplify@Solve[{(z - b) (\!\(\*OverscriptBox[\(z\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)) == (b - c) (\!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\)), (a - b)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)) == (a - z)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(z\), \(_\)]\))}, {z, \!\(\*OverscriptBox[\(z\), \(_\)]\)}];(*求E点坐标*)
  7. e = b + (b - 1) I;
  8. \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) = ((b - 1) I + 1)/b;
  9. Simplify@Solve[{(z - b) (\!\(\*OverscriptBox[\(z\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)) == (b - c) (\!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\)), z \!\(\*OverscriptBox[\(z\), \(_\)]\) == 1, z != c}, {z, \!\(\*OverscriptBox[\(z\), \(_\)]\)}];(*求D点坐标*)
  10. d = b^2;
  11. \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) = 1/b^2;
  12. Simplify@Solve[{z \!\(\*OverscriptBox[\(z\), \(_\)]\) == 1, (e - d)/(\!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\)) == (d - z)/(\!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(z\), \(_\)]\))}, {z, \!\(\*OverscriptBox[\(z\), \(_\)]\)}];(*求G点坐标*)
  13. g = -I; \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\) = I;
  14. Simplify@Solve[{z \!\(\*OverscriptBox[\(z\), \(_\)]\) == 1, (e - c)/(\!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\)) == (c - z)/(\!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(z\), \(_\)]\))}, {z, \!\(\*OverscriptBox[\(z\), \(_\)]\)}];(*求F点坐标*)
  15. f = I b; \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\) = -(I/b);
  16. Print["AB = ", Simplify[Sqrt[(a - b) (\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\))]]]; Print["FG = ",
  17. Simplify[Sqrt[(f - g) (\!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\))]]];
  18. Print["这就证明了 FG = AB "];
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点评

及 OF⊥OB 。  发表于 2022-5-16 09:10
顺便证明了 G 是定点。  发表于 2022-5-16 08:52
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发表于 2022-5-15 10:44 | 显示全部楼层

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发表于 2022-5-15 21:01 | 显示全部楼层
楼上 kanyikan 的解答很好!已收藏。
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发表于 2022-5-16 09:31 | 显示全部楼层
这道题包含太多的内涵了!似乎还有 FB⊥GD,AB⊥GF,FC⊥GB。
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发表于 2022-5-16 10:28 | 显示全部楼层
本帖最后由 uk702 于 2022-5-16 10:40 编辑

上述结论的一次性证明如下:

由于 O、B 是两圆的圆心,C、D 是两圆的交点,
故 C、D 关于 OB 对称,∴弧BC的长度=弧BD的长度
∴∠BGC=∠BGD=∠BGE
∴△GBE和△GBC中,BG=BG,BC=BE,∠BGE=∠BGC
∴(这种情况下)△GBE≌△GBC,即BG是 E与C 的对称轴
∴ CE⊥GB
且 ∠CBG=∠EBG =》弧GC长度 = 弧GA长度,
即 G 是弧AGC 的中点,∴ GO⊥AC

∵∠CFB=∠BGD,∴∠CFB+∠FED=∠DGB+∠GEC=90°
∴ GD⊥FB
∴ E 是△GFB的垂心
∴ AB⊥GF,故有 GF∥BC
∴ 弧GC的长度=弧BF的长度
∴弧长AFB=弧长AF+弧长FB=弧长AF+弧长GC=弧长AF+弧长GA=弧长GAF
∴AB=GF

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