-2≤x＜2 ，求无穷级数 ∑(n=1,∞)x^(n-1)／(n2^n) 之和

xfhaoym

这是一网友做的，说是与答案不同。也不知道哪错了，请大家给看看。

cgl_74

找错我拿手哈！

xfhaoym

谢谢LS的，我转告了。

王守恩

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x/a)^{n-1}}{n*2^n}=\frac{a*\log(2a/(2a-x))}{x}=\frac{\log(2/(2-x/a))}{x/a}=\frac{\log(2)-\log(2-x/a)}{x/a}\)

\(-2a≤x≤2a-1\ \ \  \ x≠0\ \ \ \  a=1,2,3,4,5,6,7,....\)

\(当x=-2a时，\)

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x/a)^{n-1}}{n*2^n}=\frac{\log(2)-\log(2+2)}{2}=\frac{\log(2)}{2}=0.34657359027997265471\)

\(中间在慢慢长大\)

\(最后，当x=2a-1时，\)

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x/a)^{n-1}}{n*2^n}=\frac{\log(2)+\log(a)}{2}=\infty\)

cgl_74

xfhaoym 发表于 2022-5-14 08:53
谢谢LS的，我转告了。

不好意思哈，我找到的错误虽然确实是错误，但是没有找全所有的错误，所以结论也是不对的。题目中那个微分方程的解是不对的，不满足S(0) =0的初值条件。

等我抽空把那个微分方程解下，把答案补充完整再说。

cgl_74

我提供我的解答。上面我说的S(0)=0是错的，应该是S(0)=1/2. 首项表示为0^0，按通常意义讲还是=1.不是=0.
我再补充了在x=-2时的情况：根据阿贝尔定理，幂级数在x=-2时收敛，那么其和在x=-2左连续。即把x=-2的情况纳入到解函数中。
原题的解法，主要错误是微分方程方程没有求对，全解没有求出来，从而由初值确定常数。

cgl_74

修改了对原题错误的批注：

luyuanhong

cgl_74

luyuanhong 发表于 2022-5-14 18:02

我发现陆老师的解法一样存在问题。意见供讨论哈！