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-2≤x<2 ,求无穷级数 ∑(n=1,∞)x^(n-1)/(n2^n) 之和

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发表于 2022-5-13 07:46 | 显示全部楼层 |阅读模式
这是一网友做的,说是与答案不同。也不知道哪错了,请大家给看看。

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发表于 2022-5-13 16:20 | 显示全部楼层
找错我拿手哈!

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 楼主| 发表于 2022-5-14 08:53 | 显示全部楼层
谢谢LS的,我转告了。
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发表于 2022-5-14 11:01 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2022-5-15 11:00 编辑

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x/a)^{n-1}}{n*2^n}=\frac{a*\log(2a/(2a-x))}{x}=\frac{\log(2/(2-x/a))}{x/a}=\frac{\log(2)-\log(2-x/a)}{x/a}\)

\(-2a≤x≤2a-1\ \ \  \ x≠0\ \ \ \  a=1,2,3,4,5,6,7,....\)

\(当x=-2a时,\)

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x/a)^{n-1}}{n*2^n}=\frac{\log(2)-\log(2+2)}{2}=\frac{\log(2)}{2}=0.34657359027997265471\)

\(中间在慢慢长大\)

\(最后,当x=2a-1时,\)

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x/a)^{n-1}}{n*2^n}=\frac{\log(2)+\log(a)}{2}=\infty\)
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发表于 2022-5-14 12:08 | 显示全部楼层
xfhaoym 发表于 2022-5-14 08:53
谢谢LS的,我转告了。

不好意思哈,我找到的错误虽然确实是错误,但是没有找全所有的错误,所以结论也是不对的。题目中那个微分方程的解是不对的,不满足S(0) =0的初值条件。

等我抽空把那个微分方程解下,把答案补充完整再说。
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发表于 2022-5-14 13:01 | 显示全部楼层
本帖最后由 cgl_74 于 2022-5-14 23:19 编辑

我提供我的解答。上面我说的S(0)=0是错的,应该是S(0)=1/2. 首项表示为0^0,按通常意义讲还是=1.不是=0.
我再补充了在x=-2时的情况:根据阿贝尔定理,幂级数在x=-2时收敛,那么其和在x=-2左连续。即把x=-2的情况纳入到解函数中。
原题的解法,主要错误是微分方程方程没有求对,全解没有求出来,从而由初值确定常数。

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发表于 2022-5-14 14:28 | 显示全部楼层
修改了对原题错误的批注:

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发表于 2022-5-14 18:02 | 显示全部楼层


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发表于 2022-5-14 23:24 | 显示全部楼层

我发现陆老师的解法一样存在问题。意见供讨论哈!

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