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楼主: BlankDiary

已知有理数 a,b 满足等式 a^5+b^5=2a^2b^2 ,求证:1-ab 是一个有理数的平方

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发表于 2022-5-15 11:45 | 显示全部楼层
题:已知有理数 a,b 满足等式 a^5+b^5=2(ab)^2 ,求证:1-ab 是有理数的平方 。

证:当ab=0时,显然1-ab 是有理数1的平方 。当ab≠0时,把a^5+b^5=2(ab)^2

两边平方得,a^10+2(ab)^5+b^10=(2ab)^4,即(a^5-b^5)^2=(2ab)^4(1-ab),

或1-ab=(a^5-b^5)^2/(2ab)^4。此即有理数的平方 。毕。

点评

这个最美!  发表于 2022-5-16 18:15
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发表于 2022-5-15 11:52 | 显示全部楼层
本帖最后由 波斯猫猫 于 2022-5-15 11:55 编辑
波斯猫猫 发表于 2022-5-15 11:45
题:已知有理数 a,b 满足等式 a^5+b^5=2(ab)^2 ,求证:1-ab 是有理数的平方 。

证:当ab=0时,显然1-ab ...


前面给的6个解法中,最后一个解法自然而简捷。
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发表于 2022-5-15 17:41 | 显示全部楼层
本帖最后由 波斯猫猫 于 2022-5-17 10:01 编辑

对一个数学题目,根据其几何特点或数量关系等,从不同视角去研读,采取不同的切入点
做一题多解的探索和研究,如果发现的方法或途径越多,那么对这个题目理解就越深刻。
其中也必有一种解法最优,最优的解法也许是对那些较“笨”解法的经验或教训的总结。不
过它有一个显著的特点:其解法和谐优美,自然而简捷。如果回头再去审视题目,往往会恍
然大悟,认为此题也不过小菜一碟。所以,解题的过程就是:雾里看花---潜心探索---柳暗
花明。

点评

赞一个,同感。  发表于 2022-5-16 10:02
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发表于 2022-5-16 18:16 | 显示全部楼层
llshs好石 发表于 2022-5-14 12:46
请各位老师多多指教 ,谢谢

相当漂亮!
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