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已知有理数 a,b 满足等式 a^5+b^5=2a^2b^2 ,求证:1-ab 是一个有理数的平方

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发表于 2022-5-12 23:39 | 显示全部楼层 |阅读模式
设有理数a,b满足等式a^5+b^5=2a^2b^2,求证1-ab是一个有理数的平方
发表于 2022-5-14 00:24 | 显示全部楼层
本帖最后由 波斯猫猫 于 2022-5-14 17:40 编辑

题:已知有理数 a,b 满足等式 a^5+b^5=2a^2b^2 ,求证:1-ab 是一个有理数的平方 。

思路:当a=0时,显然1-ab 是有理数1的平方 。

当a≠0时,由 a^5+b^5=2a^2b^2 ,得b≠0(若b=0,易证a=0,这与前提条件矛盾)。

因这时a和b皆为非零有理数,故总存在非零有理数c(c≠-1),使得b=ca 。

把此代入a^5+b^5=2a^2b^2中,得a^5+c^5a^5=2a^2c^2a^2,

即a=2c^2/(c^5+1)。从而b=2c^3/(c^5+1)。

故,1-ab=1- 4c^5/(c^5+1)^2=[(c^5-1)/(c^5+1)]^2,即1-ab是一个有理数的平方 。证毕。

点评

赞  发表于 2022-5-14 15:11
做得不错!  发表于 2022-5-14 08:00
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发表于 2022-5-14 08:44 | 显示全部楼层
本帖最后由 波斯猫猫 于 2022-5-14 10:03 编辑

题:已知有理数 a,b 满足等式 a^5+b^5=2a^2b^2 ,求证:1-ab 是一个有理数的平方 。

另一思路:考虑ab≠0,因有理数 a, b 满足a^5+b^5=2a^2b^2 ,

故,(2a^2b^2)^2 (1-ab)=(2a^2b^2)^2 -4a^5b^5=(a^5+b^5)^2 -4a^5b^5

=(a^5-b^5)^2 ,即1-ab=[(a^5-b^5)/(2a^2b^2)]^2。此为有理数(a^5-b^5)/(2a^2b^2)的平方 。

特别地,当a=0,或b=0时,显然,1-ab 是有理数1的平方 。毕。
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发表于 2022-5-14 09:31 | 显示全部楼层
楼上 波斯猫猫 的解答很好!已收藏。
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发表于 2022-5-14 12:46 | 显示全部楼层
本帖最后由 llshs好石 于 2022-5-14 17:59 编辑

请各位老师多多指教 ,谢谢

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点评

很好,不错!  发表于 2022-5-16 18:12
其法如同把ax^3+bx+c=0变为ax^4+bx^2+cx=0,并视后者为关于“x的双二次方程”。  发表于 2022-5-14 19:06
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发表于 2022-5-14 13:43 | 显示全部楼层
本帖最后由 llshs好石 于 2022-5-14 18:35 编辑
luyuanhong 发表于 2022-5-14 09:31
楼上 波斯猫猫 的解答很好!已收藏。


搞错了 ,已修正
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发表于 2022-5-14 14:10 | 显示全部楼层
楼上 llshs好石 的解答已收藏。
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发表于 2022-5-14 18:42 | 显示全部楼层
本帖最后由 波斯猫猫 于 2022-5-14 21:52 编辑

题:已知有理数 a,b 满足等式 a^5+b^5=2a^2b^2 ,求证:1-ab 是一个有理数的平方 。

再给一思路:由a^5+b^5=2a^2b^2,有a^2(a^3-b^2)+b^2(b^3-a^2)=0。

令a^2(a^3-b^2)=e,则b^2(b^3-a^2)=-e   (a,b,e皆有理数)。

故,e^2=a^2b^2(a^3-b^2)(a^2-b^3)=a^2b^2(a^5+b^5-a^3b^3-a^2b^2)

             = a^2b^2(2a^2b^2-a^3b^3-a^2b^2)=a^4b^4(1-ab),

即1-ab=e^2/(ab)^4是一个有理数的平方 。

特别地,当ab=0时,显然1-ab 是有理数1的平方 。毕。
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发表于 2022-5-14 21:41 | 显示全部楼层
本帖最后由 波斯猫猫 于 2022-5-14 21:44 编辑

题:已知有理数 a,b 满足等式 a^5+b^5=2a^2b^2 ,求证:1-ab 是一个有理数的平方 。

再给一思路:当ab=0时,显然1-ab 是有理数1的平方 。

当ab≠0时,总存在有理数λ和μ,使得a^3=λb^2,b^3=μa^2,从而ab=λμ。

因a^5+b^5=2a^2b^2 ,故^5+b^5=(λ+μ)a^2b^2=2a^2b^2 ,即λ+μ=2。

所以,1-ab=1-λμ=1-λ(2-λ)=(1-λ)^2。此即一个有理数的平方 。毕。
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发表于 2022-5-15 00:26 | 显示全部楼层
题:已知有理数 a,b 满足等式 a^5+b^5=2a^2b^2 ,求证:1-ab 是一个有理数的平方 。

证:当ab=0时,显然1-ab 是有理数1的平方 。

当ab≠0时,令a^5=a^2b^2 +c(c为有理数),则b^5=a^2b^2-c ,故a^5b^5=a^4b^4-c^2 ,

或c^2=(ab)^4(1-ab),即1-ab=c^2/(ab)^4。此即一个有理数的平方 。毕。
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