求正整数 x （1）使得 36x^2+6x+1 是完全平方数（2）使得 12x^2+18x+7 是完全平方数

lihp2020

(36x^2+6x+1) 是平方数  其中x是正整数   请问 需要x满足什么规则 或者 是否存在这样的x

其他问题 是否 所有的二次项 不能直接写成（ax+b）^2   能不能通用的解题方法？？

同样就问  (12*x^2+18*x+7)

lihp2020

36x^2+6x+1
证明 一定不存在 利用
(6k+1)^2 =  36k+12k+1
(6k)^2   =  36k^2
所以  (36k2+6k+1)  介于两者之间 不可能是完全平方数  
但是 后面的就不知道了 但是知道有解 其中k=3  
12*9 +18*3+7=169 =13*13

lihp2020

@uk702  你有柯召、孙琦的《不定方程》的pdf不？？ 我去学习学习  


相当于求解二元二次不定方程 12x^2+18x + 7 - y^2 = 0，这种不定方程，如果有一个解，就有无穷多个解 我计算机严重 就值找到了一个解

uk702

lihp2020 发表于 2022-5-7 17:01
@uk702  你有柯召、孙琦的《不定方程》的pdf不？？ 我去学习学习  

噢，f(x, y) = a x^2+b x y+c y^2+d x + e y + f = 0，这里 a= 12, b = 0, c =-1, 判别式 D = b^2 - 4ac = 48 > 0 不是一个完全平方数，故应有无穷多组解。

书（《谈谈不定方程》）你有兴趣的话上京东买一本吧，这种类型的书都会有一定的难度，但肯定值那个价，就看是不是适合你了。（

uk702

(17:54) gp > n=10000000; for(x=1, n, if(issquare(12*x^2+18*x+7), print(x)))
3
727
141179

王守恩

uk702 发表于 2022-5-7 17:51
(17:54) gp > n=10000000; for(x=1, n, if(issquare(12*x^2+18*x+7), print(x)))
3
727

3, 727, 141179, 27388143, 5313158707, 1030725401159, 199955414666283, 38790319719857887,
7525122070237763939, 1459834891306406346423, 283200443791372593442267, .........
   通项公式: LinearRecurrence[{195, -195, 1}, {-1, 3, 727}, 22]
这串数可是在《整数序列在线百科全书(OEIS)》找不到的。相近的有这串数A099487