是要虚数？还是要虽-1<1,而-1÷1=1÷(-1)仍然成立？谁生谁亡的问题？？

春风晚霞

\(\mathbf{命题：已知z={\sqrt 2\over  2 }+i{\sqrt 2\over 2}，求证：{\sqrt 2\over  2 }+i{\sqrt 2\over 2}}\)是\(\sqrt[4]{-1}\)的一个根。
【\(\mathbf{证明:}\)∵1的仼何次方都等于1，\(i^2\)=-1，\(i^3\)=-i，\(i^4\)=1。所以，\(({\sqrt 2\over  2 }+i{\sqrt 2\over 2})^4\)=\(({\sqrt 2\over 2})^4\)\((1+i)^4\)
=\(1\over 4\)\((1+i)^4\)=\(1\over 4\)\(\displaystyle\sum_{r=0}^4\)\(i^r\)=\(1\over 4\)(1+4i+\(6i^2\)+\(4i^3\)+\(i^4\))=\(1\over 4\)(1+4i-6-4i+1)=\(1\over 4\)\(\times\)(-4)=-1。      
\(\mathbf{ ∴  {\sqrt 2\over  2 }+i{\sqrt 2\over 2}}\)是\(\sqrt[4]{-1}\)的一个根。

jzkyllcjl

-1的4次方根有四个复数，你说的：√2/2 +i√2/2, ，只是其中的一个，还有-√2/2 +i√2/2,；- √2/2 -i√2/2, √2/2 -i√2/2, 。  发表于 2022-3-14 07:07

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2022-3-14 15:09
-1的4次方根有四个复数，你说的：√2/2 +i√2/2, ，只是其中的一个，还有-√2/2 +i√2/2,；- √2/2 -i√2/2 ...

是的，-1 的四次方根有四个(参见55#)。然本题中\(\mathbf{z={\sqrt 2\over  2 }+i{\sqrt 2\over 2}是所给命题命题的充分条件}\)。所谓充分即是指\(\mathbf{有之则必然。}\)这好比说2是4的平方根一样，你能根据4有两个平方根±2，\(\mathbf{就否定2是4的平方根吗？}\)

ba571016

春风晚霞 发表于 2022-3-14 14:47
\(\mathbf{命题：已知z={\sqrt 2\over  2 }+i{\sqrt 2\over 2}，求证：\sqrt[4]{-1}={\sqrt 2\over  2 }+i{ ...

谢谢，且不说其它，就说一个简单的(-1)^1/4=？就让你这么劳神费力搞得这样复杂，那(-1)^1/4p=？(p为任意的质数)，你又如何劳神费力？？

知道奥卡姆剃刀原理吗？？？

elim

ba571016 觉得学习中学代数太劳神费力．于是在此轻松制造垃圾．

ba571016

春风晚霞 发表于 2022-3-14 14:47
\(\mathbf{命题：已知z={\sqrt 2\over  2 }+i{\sqrt 2\over 2}，求证：\sqrt[4]{-1}={\sqrt 2\over  2 }+i{ ...

[(-1)(-1)]^1/4=(-1)^1/4×(-1)^1/4
等式右边的
(-1)^1/4=？
若按你的结论：(-1)^1/4=√2/2+i√2/2 则等式右边为：[√2/2(1+i)]^2=1/2(1+2i-1)=1/2×2i=i,
如此：等式还成立吗？不是陷入1=i的悖谬中吗？？

春风晚霞

ba571016 发表于 2022-3-14 22:47
谢谢，且不说其它，就说一个简单的(-1)^1/4=？就让你这么劳神费力搞得这样复杂，那(-1)^1/4p=？(p为任意 ...

       把-1化为三角式-1=cosπ+isinπ，应用棣莫弗公式得一般解
解：(-1)^(1/4p)=\(\sqrt[4p]{-1}\)=\(\sqrt[4p]{i^2}\)=\(\sqrt[4p]{cosπ+isinπ}\)=cos\(2Kπ+π\over {4p}\)+isin\(2Kπ+π\over {4p}\)   k=0，1，2，3…(4p-1)
       正如jzkyllcjl所说，在复数范围内方程\(x^{4p}\)=-1有4p个解，即\(\sqrt[4p]{i^2}\)有4p个复根，它们分别对应于k=0，1，2，3…(4p-1)各个情形。
       数学问题不是谁愿【这么劳神费力搞得这样复杂】，求解数学问题的实质就是根据数理逻辑揭示客观存在的数学规律。你问我【知道奥卡姆剃刀原理吗？】我隐约记得奥卡姆剃刀定律(Occam's Razor,Ockham's Razor)说的是“若无必要，勿增实体。”但是“若有必要”呢，我想奥卡姆也会“增加实体”的！当客观存在的数学规律本身就较复杂时，你还想简单，行吗？

春风晚霞

ba571016 发表于 2022-3-15 01:03
[(-1)(-1)]^1/4=(-1)^1/4×(-1)^1/4
等式右边的
(-1)^1/4=？

∵     (-1)^1/4=√2/2+i√2/2 ，∴  [√2/2(1+i)]^2=\((\sqrt[4]{-1})^2\)=\(\sqrt {-1}\)=i
∴    若按我的结论(应该说是棣莫弗的结论)：【(-1)^1/4=√2/2+i√2/2 则等式右边为：[√2/2(1+i)]^2=1/2(1+2i-1)=1/2×2i=i】是成立的 。
        谁说\((\sqrt[4]{-1})^2=1？依据是什么？你的疑问可参照初中根式运算当a>0，(\sqrt[4]{a})^2\)=\(\sqrt a\)自行解决。

elim

ba571016 不是可以理喻的.

jzkyllcjl

数学理论的阐述，不能单靠形式逻辑。虚数表示了平面上纵坐标轴的点的位置，所以它是需要的数学理论的一部分。