在最小二乘法的推导中，为什么求出偏导数为零的点后，没有讨论，就肯定它是极小值点？

jiaohuaxian2010

上面是同济大学第7版高数上，关于最小二乘法的例题1，具体题目太长，我就没打完了。书上解题思路是，利用两个未知数，二阶偏导数都是0时，组成方程组，求解的办法，来求出极小值。我的问题是，当两个未知数二阶偏导数都为0时，也不一定是极小值点吧？不是有判别式AC-B^2吗？为什么书上并没有讨论判别式，大于0，小于0，还是等于0，就直接判定这是极小值点了？

luyuanhong

问  在最小二乘法的推导中，为什么求出偏导数为零的点后，没有讨论，就肯定它是极小值点？

答  在数学中，可以证明，有这样一条常用的简易判断法则：

    一个函数，如果已知它在某个区域内可求偏导而且必定有极小值，用求偏导数的方法，在这

个区域内能求得唯一的一个偏导数为零的点，那么，就可以肯定，这个点必定是极小值点。

    对于最小二乘法问题来说，因为要求一个平方和式子的最小值，平方和不可能小于零，所以

这个平方和式子必定有极小值。用求偏导数的方法，我们可以求得唯一的一个偏导数为零的点。

根据上面所说的简易判断法则，我们不用讨论，就可以肯定，这个点必定是极小值点。

jiaohuaxian2010

想了半天，楼上老师的有句话还是不明白。为什么 “平方和不可能小于零，所以这个平方和的式子必定有极小值”？不能是无限接近于0的一个小数吗，会很小很小， 这样也可算作是没有极小值的对吧？已经很感谢老师了，老师如果忙的话，就不必解答了吧。