梅森数探索点滴广义梅森素数表

大傻8888888 · 发表于 2022-1-27 10:47

yangchuanju 发表于 2022-1-25 07:48
以2为原根的素数p，素因子p第一次出现在2^(p-1)-1中，以后指数每增大p-1，又出现一次；
非以2为原根的素数 ...

我在28楼的回复不准确。
任何素数或者素因子p第一次出现在2^[(p-1)/2]-1中，以后指数每增大(p-1)/2，又出现一次。只不过为什么是这样，具体成立不成立我暂时还不能证明。不知哪位先生可以证明？

yangchuanju · 发表于 2022-1-27 14:37

本帖最后由 yangchuanju 于 2022-1-27 14:49 编辑

大傻8888888 发表于 2022-1-27 10:47
我在28楼的回复不准确。
任何素数或者素因子p第一次出现在2^[(p-1)/2]-1中，以后指数每增大(p-1)/2，又 ...

仍不全对，有的素数第一次出现及循环出现周期是（p-1），这些素数都是以2为原根的素数；
其余素数第一次出现及循环出现周期是（p-1）/k，k是不同的正整数；
素数23,47之k=2,
素数31之k=6（素数31第一次出现在n=5=（31-1）/6，以后n每增加5又循环出现一次；
素数89之k=8（素数89第一次出现在n=11=（89-1）/8，以后n每增加11又循环出现一次；
素数127之k=18（素数127第一次出现在n=7=（126-1）/18，以后n每增加7又循环出现一次；……

yangchuanju · 发表于 2022-1-27 15:09

本帖最后由 yangchuanju 于 2022-1-27 15:12 编辑

回复大傻8888888
第一次出现在2^n-1中的素数p及其循环出现之周期分数k值:
指数n 素数p 周期分数k=(p-1)/n
2 3 1
3 7 2
4 5 1
5 31 6
7 127 18
8 17 2
9 73 8
10 11 1
11 23 2
11 89 8
12 13 1
13 8191 630
14 43 3
15 151 10
16 257 16
17 131071 7710
18 19 1
19 524287 27594
20 41 2
21 337 16
22 683 31
23 47 2
23 178481 7760
24 241 10
25 601 24
25 1801 72
26 2731 105
27 262657 9728
28 29 1
28 113 4
29 233 8
29 1103 38
29 2089 72
30 331 11
31 2147483647 69273666
32 65537 2048
33 599479 18166
34 43691 1285
35 71 2
35 122921 3512
36 37 1
36 109 3
37 223 6
37 616318177 16657248
38 174763 4599
39 79 2
39 121369 3112
40 61681 1542
41 13367 326
41 164511353 4012472
42 5419 129
43 431 10
43 9719 226
43 2099863 48834
44 397 9
44 2113 48
45 631 14
45 23311 518
46 2796203 60787
47 2351 50
47 4513 96
47 13264529 282224
48 97 2
48 673 14
49 4432676798593 90462791808
50 251 5
50 4051 81
51 103 2
51 2143 42
51 11119 218
52 53 1
52 157 3
52 1613 31
53 6361 120
53 69431 1310
53 20394401 384800
54 87211 1615
55 881 16
55 3191 58
55 201961 3672
56 15790321 281970
57 32377 568
57 1212847 21278
58 59 1
58 3033169 52296
59 179951 3050
59 3203431780337 54295453904
60 61 1
60 1321 22

yangchuanju · 发表于 2022-1-27 15:14

yangchuanju 发表于 2022-1-27 14:37
仍不全对，有的素数第一次出现及循环出现周期是（p-1），这些素数都是以2为原根的素数；
其余素数第一 ...

回复大傻8888888
不同素数在2^n-1第一次出现n值及循环出现之周期分数k:
素数p 指数n 周期分数k=(p-1)/n
3 2 1
5 4 1
7 3 2
11 10 1
13 12 1
17 8 2
19 18 1
23 11 2
29 28 1
31 5 6
37 36 1
41 20 2
43 14 3
47 23 2
53 52 1
59 58 1
61 60 1
67 66 1
71 35 2
73 9 8
79 39 2
83 82 1
89 11 8
97 48 2
101 100 1
103 51 2
107 106 1
109 36 3
113 28 4
127 7 18
131 130 1
137 68 2
139 138 1
149 148 1
151 15 10
157 52 3
163 162 1
167 83 2
173 172 1
179 178 1
181 180 1
191 95 2
193 96 2
197 196 1
199 99 2
211 210 1
223 37 6
227 226 1
229 76 3
233 29 8
239 119 2
241 24 10
251 50 5
257 16 16
263 131 2
269 268 1
271 135 2
277 92 3
281 70 4
283 94 3
293 292 1
307 102 3
311 155 2
313 156 2
317 316 1
331 30 11
337 21 16
347 346 1
349 348 1
353 88 4
359 179 2
367 183 2
373 372 1
379 378 1
383 191 2
389 388 1
397 44 9
401 200 2
409 204 2
419 418 1
421 420 1
431 43 10
433 72 6
439 73 6
443 442 1
449 224 2
457 76 6
461 460 1
463 231 2

白新岭 · 发表于 2022-1-27 15:28

yangchuanju 发表于 2022-1-27 14:37
仍不全对，有的素数第一次出现及循环出现周期是（p-1），这些素数都是以2为原根的素数；
其余素数第一 ...

证明2^n-2模2^K-1只有k种余数
http://www.mathchina.com/bbs/for ... 6&fromuid=37263
(出处: 数学中国)
以前对这类问题做了尝试性分析，也有些自己的体会。

大傻8888888 · 发表于 2022-1-27 15:58

yangchuanju 发表于 2022-1-27 14:37
仍不全对，有的素数第一次出现及循环出现周期是（p-1），这些素数都是以2为原根的素数；
其余素数第一 ...

我在51楼的回复确实仍然不准确。
1.如果2^n-1是梅森素数，则这个梅森素数的素因子p第一次出现在2^(2n)-1中，以后指数每增大n又出现一次。
2.如果p不是梅森素数，则素因子p第一次出现在2^[(p-1)/2]-1中，以后指数每增大(p-1)/2，又出现一次。

yangchuanju · 发表于 2022-1-27 16:25

大傻8888888 发表于 2022-1-27 15:58
我在51楼的回复确实仍然不准确。
1.如果2^n-1是梅森素数，则这个梅森素数的素因子p第一次出现在2^(2n)-1 ...

梅森素数2^3-1=7，素因子7先后出现在n=3,6,9,12……的2^n-1之中，应该认为素因子7第一次出现在n=3的2^n-1中，7是7的一个因子；
2^11-1=2047=11*89，不是梅森素数；素因子23和89第一次出现在n=11的2^n-1中，素因子23和89第一次出现在2^[(23-1)/2]-1和2^[(89-1)/8]-1中，以后指数每增加2^[(23-1)/2]-1和2^[(89-1)/8]-1又出现一次。

yangchuanju · 发表于 2022-1-27 18:54

蔡家雄发表于 2022-1-26 19:44
在10^7内有664579个素数p，

仅有38个素数p，使 2^p -1 是素数，占比 38/664579=0.000057，

蔡家雄在46楼帖子中询问：有能力分解 2^(521*607) -1 吗？
2^3-1=7、2^5-1=31是两个小梅森素数，2^(3*5)-1=2^15-1=32767=7*31*151；三因子位数分别是1,2,3位，总位数5位。
2^521-1=7、2^607-1=31是两个较大的梅森素数，2^(521*607)-1=（2^521-1)*(2^607-1)*D=6864797660...51<157>*5311379928...27<183>*D
2^(521*607)-1是一个95200位大数，减157，再减183等于94860，余因子D应是一个94860或94861位的数字，这种余因子最难分解。

大傻8888888 · 发表于 2022-1-27 19:51

yangchuanju 发表于 2022-1-27 16:25
梅森素数2^3-1=7，素因子7先后出现在n=3,6,9,12……的2^n-1之中，应该认为素因子7第一次出现在n=3的2^n-1 ...

56楼应该增加如下：
3.如果2^n-1是若干个素数之积，其中所有大于等于2n+1的素数在指数每增加n这所有素数的素因子都会再次出现。
或者干脆把56楼改为：
1.如果2^n-1是梅森素数，则这个梅森素数的素因子p第一次出现在2^(2n)-1中，以后指数每增大n又出现一次。
2.如果2^n-1是若干个大于等于两个素数之积，其中所有大于等于2n+1的素数在指数每增加n时，这所有素数的素因子都会再次出现。
当然如果还有反例出现，则2有可能不成立。

wlc1 · 发表于 2022-1-27 21:02

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