梅森数探索点滴 广义梅森素数表

蔡家雄

广义费马数：a^(a^n)+a -1

若 3^(3^n)+2 是素数，则 n=

如 3^(3^5)+2=3^243+2 是素数，

yangchuanju

蔡家雄 发表于 2022-1-22 20:44
广义费马数：a^(a^n)+a -1

Any generalized Fermat number Fb,n = b^2^n+1 (with b an integer greater than one and n greater than zero) which is prime is called a generalized Fermat prime (because they are Fermat primes in the special case b=2).

b^2^n+1型数称为广义费马数

蔡家雄

广义梅森数：(a^n -1)/(a -1)

广义费马数：a, b 一奇一偶且互质，

a^(2^n)+b^(2^n)  如：a=2,  b=1,

yangchuanju

蔡家雄 发表于 2022-1-23 08:29
广义梅森数：(a^n -1)/(a -1)

广义费马数：a, b 一奇一偶且互质，

蔡老师好！

学生暂无兴趣探讨费马素数和广义费马素数。

近期太阳先生提出许多个寻找大素数、寻找梅森素数的公式，尽管都不是完全正确的，但某些公式的反例并不多，不愧为寻找大素数的有效公式，请关注并帮他完善这些寻找方法和寻找公式。

yangchuanju

10000以内共有1229个素数，以这些素数作2^n-1的指数，可得1229个梅森数，其中梅森素数22个；
分解不是素数的各个梅森数，有280个完全分解的，873个未完全分解，54个一个素因子也没有找到。
在280个完全分解的梅森数中，最小素因子是2^11-1的23，最大素因子是2^9901-1的2479176932...53<2844>，
2^9733-1的1834385146...27<2876>，2^9697-1的8855139416...59<2888>，……
它们都是2^p-1的φ因子之一，都不是前面所说的2^(pqr…)-1的余因子。

在54个一个素因子未曾找到的梅森数中，最小的是2^1277-1<385>=2601983048...71<C385>,2^1619-1<488>=2331111140...87<C488>，……
在873个未完全分解的梅森数中，最小的复合因子是2^1213-1<366>的6022881435...11<C297>,2^1217-1<367>的1599862690...13<C248>，2^1229-1<370>的5339295584...87<C284>，……
最大的复合因子是2^9949-1<2995>的1094014231...53<C2989>，2^9967-1<3001>的5588811182...37<C2978>，2^9973-1<3003>的3395870015...01<C2959>，……

太阳先生一直想找到一些大素数因子，可在这些梅森数中寻找，或设法分解这些没有分解或没有完全分解的梅森数中寻找。

yangchuanju

在尚未完全分解的梅森数中，最小的复合因子是2^1217-1<367>的1599862690...13<C248>，
2^1217-1<367>=1045741327<10>×6116773272...79<55>×2205339002...99<56>×1599862690...13<248>
第2个素因子等于6116773272167843384976777858063213917010557325918356879——55位
第3个素因子等于22053390021902056444354293154701006674049109757797668799——56位
梅森数2^1217-1等于2256860539307393105011327329377011038103787896235450685421418815999277883882438081825667093264603044024991209099357269234625403589861921393867700290549018439799210439036894036739316763396676665200668451067534577006194941659478827887479039428662128356194410007853719090458077244657854235383855942530190262213802290413079280077010045004063560752944055732277904851075071
梅森数除以第1、第2和第3素因子等于15998626902122785734478916025259371445087839066846331843763775490851714167735345664056701978718195915214824941034106110533345761829269920128282514453043980438376392031003178144844531369491923452362083612934632103158494908388545475693079542033948513——248位
复合因子平方根3999828359082772658479476607994569620765178450883469776277365413601013103175014799691629403314619604784087148266530959496800——124位
复合因子平方根除以2*1217等于1643314855826940286967738951517900419377641105539634254838687515859085087582175349092699015330575022507841885072527099218——121位
248位复合因子中一定含有大于56位第3素因子，小于124位平方根的第4个素因子。

yangchuanju

梅森数中的素因子都是2kp+1型，其中不含平方因子；
梅森数若只有一大一小二个素因子，则小因子小于梅森数的平方根，大因子大于梅森数的平方根；
梅森数若含有3个或3个以上的素因子，则第1、第2个小因子一定小于梅森数的平方根，大因子不一定大于梅森数的平方根。
梅森数2^1217-1中的未分解到底的复合因子248位，尚大于总位数367的一半183位，
但复合因子中的素因子不会小于56位，不会大于248-56+1=193位，据此该梅森数的大因子有可能大于梅森数的平方根，也有可能小于其平方根。

第3个素因子p3等于22053390021902056444354293154701006674049109757797668799
找到第3个素因子p3意味着已经试除到了k=(p3-1)/(2*1217)=9060554651562060987820169743098195018097415676991647——52位
若用太阳试除法继续试除之，从k+1=9060554651562060987820169743098195018097415676991648——52位开始
试除到1643314855826940286967738951517900419377641105539634254838687515859085087582175349092699015330575022507841885072527099218——121位
尚需（至多）试除181370227212704790725664093259305684155078671537705667434014404511773次——69位数
亦有可能试除若干次后就找到第4个大于等于56位的素因子，
248位复合因子究竟还含有几个素因子尚不清楚。

yangchuanju

所有的梅森数因子（素因子或复合因子）都具有2kp+1的形式，包括梅森数自身也可表示成2kp+1的形式。

2^3-1=7=2*1*3+1
2^5-1=31=2*3*5+1
2^7-1=127=2*9*7+1
2^9-1=511=2*28.333*9+1≠2k*9+1
2^11-1=2047=23*89=(2*1*11+1)*(2*4*11+1)=2*93*11+1
2^13-1=8191=2*63*65+1=2*315*13+1
2^15-1=32767=7*31*151=(2*1*3+1)*(2*3*5+1)*(2*5*15+1)=2*1092.2*15+1≠2k*15+1
2^17-1=131071=2*255*257+1=2*3855*17+1
2^19-1=524287=2*511*513=2*13797*19+1
2^21-1=2097151=2*49932.143*21+1≠2k*21+1
2^23-1=8388607=47*178481=(2*1*23+1)*(2*3880*23+1)=2*182361*23+1

不能表示成2kn+1形式的2^n-1型数字都不是梅森数。

yangchuanju

2^3-1=7, 7=2*3+1
2^9-1=511=7*73, 73=2*4*9+1
2^27-1=134217727=7*73*262657, 262657=2*4864*27+1

2^5-1=31, 31=2*3*5+1
2^25-1=33554431=31*(601*1801), 601=2*24*25+1, 1801=2*72*25+1, 1082401=2*21648*25+1
2^125-1=42535295865117307932921825928971026431<38>=31*(601*1801)*(269089806001<12>*4710883168879506001<19>)

2^7-1=127, 127=2*9*7+1
2^49-1=562949953421311<15>=127*4432676798593<13>, 4432676798593=2*45321395904*49+1
2^343-1=127*4432676798593<13>*(6073159*1428389887<10>*62228099977<11>*5896180447...57<62>)

2^15-1=2^(3*5)-1=32767=7*31*151, 151=2*5*15+1
2^21-1=2^(3*7)-1=2097151=7^2*127*337, 337=2*8*21+1
2^35-1=2^(5*7)-1=34359738367<11>=31*127*(71*122921), 71=2*35+1, 122921=2*1706*35+1
2^105-1=2^(3*5*7)-1=7^2*31*127*151*337*(71*122921)*(29191*106681*152041), 29191=2*139*105+1, 106681=2*508*105+1, 152041=2*724*105+1

梅森数2^p-1的素因子都具有2kp+1的形式；
2^(p^2)-1的较大素因子或复合因子具有2k*p^2+1形式；
2^(p^3)-1的较大素因子或复合因子具有2k*p^3+1形式；……

2^pq-1=(2^p-1)*(2^q-1)*(2k*pq+1)，余因子具有2k*pq+1的形式；
2^pqr-1=(2^p-1)*(2^q-1)*(2^r-1)*(2k1*pq+1)*(2k2*pr+1)*(2k3*qr+1)*(2*k*pqr+1)，余因子具有2k*pqr+1的形式；
……

yangchuanju

2^3-1=7含有素因子7；
2^21-1=2^(3*7)-1=2097151=7^2*127*337，21=3*7，含有素因子7的平方；
2^147-1=2^(3*7*7)-1=7^3*127*337*4432676798593<13>*2741672362528725535068727<25>,  147=3*7*7，含有素因子7的立方；
……

2^4-1=15=3*5含有素因子5；
2^20-1=1048575=3*5^2*(11*31*41),  20=4*5含有素因子5的平方，大复合因子中的11、31、41都是2k*5+1型；
2^100-1=1267650600228229401496703205375<31>=3*5^3*(11*31*41)*(101*251*601*1801*4051*8101*268501),  100=4*5*5含有素因子5的立方，大复合因子中的101、251、601、1801、4051、8101、268501都是2k*25+1型；
2^500-1<151>=3*5^4*(11*31*41)*(101*251*601*1801*4051*8101*268501)*(7001*28001*96001*3775501*229668251*269089806001<12>*4710883168879506001<19>*47970133603445383501<20>*94291866932171243501<20>*5519485418336288303251<22>), 500=1*5*5*5含有素因子5的4次方，大复合因子中的各个小因子都是2k*125+1型；
……