梅森数探索点滴广义梅森素数表

yangchuanju · 发表于 2022-2-15 09:50

本帖最后由 yangchuanju 于 2022-2-15 09:52 编辑

梅森数的素因子只包含部分素数，另一部分素数5,11,17,19,37,41,43…都不出现在梅森数之中。
它们分别出现在指数是偶数的2^n-1中：
指数n 素因子
4 5
10 11
8 17
18 19
36 37
20 41
14 43
……
梅森素数、梅森合数的素因子都可以出现在指数不是素数的2^n-1之中，
但反过来上一部分素数（素因子）都不会出现在梅森素数和梅森数的因子中。

yangchuanju · 发表于 2022-2-15 10:25

本帖最后由 yangchuanju 于 2022-2-15 12:14 编辑

在前9592个梅森数中（素指数p不大于100000），共有梅森素数28个，完全分解的梅森数320个（其中最大的一个是2^84211-1<25351位>），
没有完全分解的梅森数8197个（其中最小的一个是2^1213-1），一个素因子都没有找到的梅森数1047个（其中最小的一个是2^1277-1）。

在前9592个梅森数中（素指数p不大于100000），共有10946个不大于10^15的素因子，
而10^15以内共有29844570422669个素数，梅森素数及梅森数的素因子仅占该区间中素数的10亿分子3.67。
在指数不大于10^5的2^n-1数列中，不大于10^15的素数中共有多少个素数出现不详。（并非不大于10^15的素数都出现）
但在指数不大于10^15的2^n-1数列中，不大于10^15的所有素数都会出现，但其中有多少个素数是梅森素数和梅森数的素因子不详。

yangchuanju · 发表于 2022-2-15 11:55

另对前1200个2^n-1中出现的不大于10^5素因子进行统计，
共有746个素因子出现，其中出现在指数是素数的梅森数中的101个，
其余的645个素数都出现在指数是合数的非梅森数中。

出现在梅森数中的素数101个：
素数p 指数n 素数p 指数n 素数p 指数n
3 2 2207 1103 18121 151
7 3 2351 47 18199 337
23 11 2383 397 18287 223
31 5 2687 79 20959 499
47 23 2767 461 23209 967
89 11 3343 557 23279 113
127 7 3391 113 23671 263
167 83 3449 431 26431 881
223 37 3463 577 26849 839
233 29 3607 601 27409 571
263 131 4513 47 28111 937
359 179 4567 761 33569 1049
383 191 4871 487 33871 1129
431 43 5471 547 35081 877
439 73 5711 571 35897 641
479 239 5737 239 40841 1021
503 251 6079 1013 43441 181
719 359 6089 761 43721 1093
839 419 6353 397 49999 641
863 431 6361 53 50023 397
887 443 6857 857 53617 1117
983 491 7487 197 53993 397
1103 29 7529 941 54217 251
1319 659 8191 13 55871 151
1367 683 8831 883 59233 617
1399 233 9511 317 63577 883
1433 179 9623 283 65993 113
1439 719 9719 43 66161 827
1487 743 11113 463 69431 53
1823 911 11447 97 72953 829
1913 239 12479 367 75407 1019
2039 1019 13007 929 80929 281
2063 1031 13367 41 87281 1091
2089 29 15193 211

yangchuanju · 发表于 2022-2-15 11:56

出现在非梅森数中的素数645个：
素数p 指数n 素数p 指数n 素数p 指数n
5 4 709 708 1789 596
11 10 727 121 1801 25
13 12 733 244 1811 362
17 8 739 246 1831 305
19 18 743 371 1847 923
29 28 751 375 1871 935
37 36 757 756 1873 936
41 20 761 380 1879 939
43 14 769 384 1889 472
53 52 773 772 1933 644
59 58 787 786 1951 975
61 60 797 796 1993 996
67 66 809 404 1999 333
71 35 811 270 2003 286
73 9 821 820 2011 402
79 39 823 411 2017 336
83 82 827 826 2081 1040
97 48 829 828 2087 1043
101 100 853 852 2111 1055
103 51 857 428 2113 44
107 106 859 858 2129 532
109 36 877 876 2137 1068
113 28 881 55 2143 51
131 130 883 882 2153 1076
137 68 907 906 2161 1080
139 138 911 91 2179 726
149 148 919 153 2203 734
151 15 929 464 2239 1119
157 52 937 117 2251 750
163 162 941 940 2273 568
173 172 947 946 2281 190
179 178 953 68 2287 381
181 180 967 483 2297 1148
191 95 971 194 2311 1155
193 96 977 488 2341 780
197 196 991 495 2347 782
199 99 997 332 2377 1188
211 210 1009 504 2381 476
227 226 1013 92 2393 598
229 76 1019 1018 2399 1199
239 119 1021 340 2411 482
241 24 1031 515 2441 305
251 50 1033 258 2473 618
257 16 1039 519 2593 81
269 268 1049 262 2657 166
271 135 1051 350 2671 445
277 92 1061 1060 2689 224
281 70 1063 531 2731 26
283 94 1069 356 2749 916
293 292 1087 543 2791 465
307 102 1091 1090 2833 118
311 155 1093 364 2857 102
313 156 1097 274 2917 972
317 316 1109 1108 2953 492
331 30 1117 1116 2969 371
337 21 1123 1122 2971 110
347 346 1129 564 3049 762
349 348 1151 575 3061 204
353 88 1153 288 3089 772
367 183 1163 166 3109 444
373 372 1171 1170 3121 156
379 378 1181 236 3137 784
389 388 1187 1186 3163 1054
397 44 1193 298 3181 1060
401 200 1201 300 3191 55
409 204 1217 152 3217 804
419 418 1223 611 3221 644
421 420 1231 615 3229 1076
433 72 1249 156 3251 650
443 442 1279 639 3257 407
449 224 1289 161 3259 1086
457 76 1297 648 3271 545
461 460 1303 651 3301 660
463 231 1321 60 3313 828
467 466 1327 221 3331 222
487 243 1361 680 3361 168
491 490 1409 704 3373 1124
499 166 1423 237 3389 484
509 508 1429 84 3457 576
521 260 1447 723 3529 882
523 522 1459 486 3541 236
541 540 1471 245 3631 605
547 546 1481 370 3673 918
557 556 1489 744 3739 534
563 562 1511 755 3761 188
569 284 1543 771 3821 764
571 114 1553 194 3823 637
577 144 1559 779 3833 958
587 586 1567 783 3881 388
593 148 1579 526 3889 648
599 299 1583 791 3943 219
601 25 1597 532 4001 1000
607 303 1601 400 4049 506
613 612 1607 803 4051 50
617 154 1609 201 4057 169
619 618 1613 52 4129 688
631 45 1627 542 4153 346
641 64 1657 92 4177 87
643 214 1663 831 4201 525
647 323 1697 848 4211 842
653 652 1699 566 4217 1054
659 658 1709 244 4271 305
661 660 1721 215 4273 534
673 48 1723 574 4289 1072
677 676 1753 146 4297 537
683 22 1759 879 4409 551
691 230 1777 74 4421 340
701 700 1783 891 4423 737

yangchuanju · 发表于 2022-2-15 11:57

出现在非梅森数中的素数645个（续）：
素数p 指数n 素数p 指数n 素数p 指数n
4457 1114 11597 892 33403 586
4481 560 11953 664 34039 279
4519 753 12007 667 34273 1008
4523 266 12037 708 34511 595
4643 422 12049 753 35201 1100
4657 388 12101 1100 37171 118
4663 777 12241 510 37201 620
4721 295 12503 329 37321 933
4729 788 12641 395 37537 391
4733 364 12841 535 38321 958
4751 475 12893 1172 38351 767
4759 793 13099 354 38431 549
4801 1200 13121 328 38737 72
4861 972 13499 794 39551 175
4931 986 13553 616 39607 943
4993 624 13669 204 40153 717
4999 357 13963 1074 41161 735
5021 1004 14323 462 41201 412
5081 635 14327 551 42373 396
5113 426 14449 84 42641 520
5153 112 14897 931 42841 476
5167 861 14951 115 43691 34
5209 217 15073 314 45137 403
5237 748 15121 270 46351 927
5279 377 15233 1088 46439 749
5297 662 15241 381 46441 645
5347 198 15289 637 46957 516
5381 1076 15451 618 47521 880
5419 42 15467 814 47737 663
5441 544 15583 1113 48731 886
5449 908 15619 274 48817 226
5503 917 15679 871 49201 615
5531 790 15809 247 49297 237
5569 464 16073 1148 49477 124
5581 124 16111 537 49681 540
5641 564 16183 279 50177 784
5669 436 16729 697 51001 1020
5689 711 16831 765 51199 1113
5821 388 17029 516 51481 260
5861 1172 17191 955 51941 1060
5867 838 17401 580 52009 788
5953 992 17467 426 54001 180
5981 460 17491 1166 54721 380
6007 1001 17539 222 54919 1017
6043 318 17987 1058 55201 1200
6151 1025 18041 451 55441 385
6217 1036 18217 828 55609 993
6271 1045 18451 738 55633 183
6337 288 18503 319 57457 513
6449 806 18539 806 58309 452
6481 810 18593 1162 59393 232
6529 102 18679 849 59753 679
6553 117 18797 508 60217 1158
6563 386 19211 1130 60427 746
6673 1112 19819 734 61681 40
6679 159 20143 1119 62497 217
6689 836 20231 119 62827 566
6791 679 20333 1196 63841 798
6871 687 20747 902 63901 300
6959 497 20857 66 64067 622
6961 1160 21061 468 64439 319
6967 1161 21169 504 65521 1170
7001 500 21481 895 65537 32
7057 392 21569 674 66457 213
7121 890 21601 1080 67033 931
7151 325 21841 156 68449 713
7309 1044 21851 1150 70921 985
7351 525 22051 882 71119 81
7393 264 22111 201 72251 578
7489 468 22573 1188 73417 399
7753 323 22777 949 73471 155
7867 874 23017 959 75011 1154
7993 999 23041 480 75041 536
8081 1010 23311 45 78233 154
8101 100 23761 594 79187 578
8161 408 23833 993 79273 1101
8317 308 24391 813 79903 207
8353 464 25301 1012 80191 729
8581 660 25309 684 80513 592
8609 1076 25601 400 82129 696
8681 124 25609 582 82721 517
8713 363 25741 572 83791 399
8761 365 26041 930 84673 1176
8929 496 26227 558 84961 472
8969 1121 26317 68 85009 506
9041 904 26371 586 86113 117
9137 1142 26417 508 86171 70
9281 1160 26881 960 86561 1082
9413 724 27361 304 87211 54
9431 943 27551 551 87421 620
9521 476 27751 555 90289 456
9649 402 27961 466 91961 484
9721 810 28001 500 92051 526
9781 652 28297 1179 92353 888
9929 292 28393 1183 92641 1158
10169 164 29191 105 92737 63
10177 636 29581 348 93131 670
10243 1138 29761 744 93703 679
10333 1148 30241 540 94447 477
10453 804 30269 92 94849 624
10657 333 30757 932 95231 535
10711 1071 31153 708 95419 1178
11119 51 31249 868 96001 500
11161 310 31649 989 97561 1084
11287 627 31721 793 97687 729
11329 472 31817 194 98227 918
11471 155 32377 57 99577 922

大傻8888888 · 发表于 2022-2-16 12:00

本帖最后由大傻8888888 于 2022-2-16 12:15 编辑

yangchuanju 发表于 2022-2-13 07:58
梅森数都是模8余7的，但它的素因子即有模8余7的，也有模8余1的，没有模8余3和余5的；
梅森数都是模6余1 ...

如果2^p-1有素因子，则这些素因子都是2np+1形式的素数。
其中n=1，2，3必有3的倍数，其中n=1,2.3.4,5必有5的倍数........以此类推其中n=1,2,3，4.......q必有q的倍数。[q是小于等于根号（2^p-1）/（2p+1）的素数]
设（2^p-1）/（2p+1）=x
则（√x）/ln（√x）是根号（2^p-1）/（2p+1）其中的素数的个数
所以判定2^p-1是否有素因子，只需要试除这（√x）/ln（√x）个素数即可
以上观点是否正确，请yang先生指正

yangchuanju · 发表于 2022-2-16 15:58

本帖最后由 yangchuanju 于 2022-2-18 06:16 编辑

大傻8888888 发表于 2022-2-16 12:00
如果2^p-1有素因子，则这些素因子都是2np+1形式的素数。
其中n=1，2，3必有3的倍数，其中n=1,2.3.4,5 ...

现今已知2^41-1=2199023255551<13>=13367*164511353，
假定我们并不知道它的任何一个素因子，请用试除法分解它。
已知2^41-1是一个梅森数，但它是不是素数尚当作还不知道。
2^41-1=2199023255551，它如果有素因子应该是2*41*n+1形式的，
并且较小素因子不大于2199023255551的平方根=1482910，(1482910-1)/82≈18084，即n值最多要从1取到18084。
（直接用1482910/83≈17866是不对的）

实际上并非所有的2*41*n+1都是素数，即使其中的某些是素数，也不见得是2^41-1的素因子，需逐个试除之。
第一步应挑出17866个82n+1中的素数，然后再做除法。
实际操作中从中挑素数并不容易，亦可直接用它们一除了之。
现知13367=82*163+1，试除到163次即可找到2^41-1的一个小素因子13367；
然而至此问题没有完全结束，2^41-1不是素数已确定，但它共有几个素因子仍不知道，还需继续试除下去。
2199023255551/13367=164511353，164511353的平方根等于12826.2，再除以83等于154.5，154.5已小于163，不需再继续试除；
至此才可以断定：2^41-1=2199023255551<13>=13367*164511353，分解结束。

上述试除法是按照埃氏素数筛法进行的，然而
大傻先生认为试除工作不必进行到(2^p-1)^0.5/(2p+1)，只需试除到：
“设（2^p-1）/（2p+1）=x
则（√x）/ln（√x）是根号（2^p-1）/（2p+1）其中的素数的个数
所以判定2^p-1是否有素因子，只需要试除这（√x）/ln（√x）个素数即可”。

（√x）=（2199023255551/83）^0.5=162770.56
ln（√x）=12.00
（√x）/ln（√x）=13564.1
13564并不比18084小多少，且大傻先生的试除法理论依据是什么，不知。

太阳 · 发表于 2022-2-16 21:54

寻找大素数难度太大了，也找不到捷径，1亿位大素数不是那么好找的

大傻8888888 · 发表于 2022-2-17 10:26

yangchuanju 发表于 2022-2-16 15:58
现今已知2^41-1=2199023255551=13367*164511353，
假定我们并不知道它的任何一个素因子，请用试除法分解 ...

对不起，106楼的帖子其中符号有误，现更正如下：
如果2^p-1有素因子，则这些素因子都是2np+1形式的素数。
其中n=1，2，3必有3的倍数，其中n=1,2.3.4,5必有5的倍数........以此类推其中n=1,2,3，4.......q必有q的倍数。[q是小于等于√（2^p-1）/（2p+1）的素数]
设√（2^p-1）/（2p+1）]=x
则x/lnx是√（2^p-1）/（2p+1）其中的素数的个数
所以判定2^p-1是否有素因子，只需要试除这x/lnx个素数即可，其中x/lnx是个大约值，实际值可以用埃氏筛法求出。

yangchuanju · 发表于 2022-2-17 11:31

大傻8888888 发表于 2022-2-17 10:26
对不起，106楼的帖子其中符号有误，现更正如下：
如果2^p-1有素因子，则这些素因子都是2np+1形式的素数 ...

q是小于等于√[（2^p-1）/（2p+1）]的素数，还是小于等于[√（2^p-1）]/（2p+1）的素数？
应该是前者吧！
“设√（2^p-1）/（2p+1）]=x”是设√[（2^p-1）/（2p+1）]=x还是设[√（2^p-1）]/（2p+1）=x？
先除再开平方，还是开平方后再除？从您的原文看有一个不成对的中括号“]”，好似前者？
同样“x/lnx”是√[（2^p-1）/（2p+1）]还是[√（2^p-1）]/（2p+1）？
先除再开平方，还是开平方后再除？

用√（2^p-1）以内的全部素数试除一遍是最基本的埃氏筛法，除以2p+1是挑选出其中的2np+1形式的素数，
这样虽试除次数大大减少，但增加了挑选素数这一步，如果挑选素数不太费时费事，还是合算的。
但仅用√[（2^p-1）/（2p+1）]以内的素数试除，恐有遗漏，也没有理论根据。

		自动登录	找回密码
密码			注册

梅森数探索点滴 广义梅森素数表

点评

梅森数探索点滴广义梅森素数表